Beweisarchiv: Mengenlehre: Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

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Satz

${\mathfrak {G}}$ sei die Menge aller $G_{\delta }$-Teilmengen von $\mathbb {R}$,

${\mathfrak {F}}$ sei die Menge der Funktionen

$f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$,

und $N(f)\,$ die Menge der Stetigkeitsstellen von $f\in {\mathfrak {F}}$. Es gilt

$\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}={\mathfrak {G}}$.

Beweis

Zunächst werden wir die Inklusion $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}$ zeigen.

Sei $f\in {\mathfrak {F}}$.

$\triangle _{k}(x)$ sei für jedes $x\in N(f)$ eine offene Umgebung von $x,\,$ so dass $\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}(x)\Rightarrow |f(\xi )-f(x)|<{\frac {1}{2k}}\right)$.

Die Mengen $G_{k}$ und $G$ seien wie folgt definiert:

$G_{k}=\bigcup _{x\in N(f)}\triangle _{k}(x)$

und

$G=\bigcap _{k=1}^{\infty }G_{k}$.

$\triangle _{k}(x)$ sind offene Mengen, folglich die Mengen $G_{k}$ auch ($k\in \mathbb {N}$) und $G$ ist borelsche $G_{\delta }$-Menge. Wir werden zeigen, dass $N(f)=G\,$ gilt.

Aus

$\forall x\forall k(x\in N(f)\Rightarrow x\in \triangle _{k}(x))\Rightarrow \forall x\forall k\left(x\in N(f)\Rightarrow x\in G_{k}\right)\Rightarrow \forall x\ (x\in N(f)\Rightarrow x\in G)$

sieht man, dass

$N(f)\subset G$.

In die andere Richtung:

Aus $y\in G$ folgt $\forall k\ (y\in G_{k})$ und

$\forall k\exists x_{k}(x_{k}\in N(f)\Rightarrow y\in \triangle _{k}(x_{k})).$

Man nehme an, dass $y\notin N(f)$. Dann ist $y\neq x_{k}$ für jedes $k$ und für jedes $k$ existiert eine solche Umgebung $\triangle _{k}^{\star }(y)$ von $y$, dass $x_{k}\notin \triangle _{k}^{\star }(y)$ und $\triangle _{k}^{\star }(y)\subset \triangle _{k}(x_{k})$.

Nach der Definition von $\triangle _{k}(x)$ gilt

$\forall k\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}^{\star }(y)\Rightarrow |f(y)-f(\xi )|<{\frac {1}{k}}\right)$,

also ist $y\in N(f)$.

Damit haben wir $N(f)\in {\mathfrak {G}}$ und $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}$ bewiesen. Es bleibt noch $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\supset {\mathfrak {G}}$ zu zeigen.

Sei

$G\in {\mathfrak {G}}$

und sei

$G=\bigcap _{n=1}^{\infty }{G_{n}}$

die Darstellung von $G$ als Durchschnitt der offenen Mengen $\{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$. Seien außerdem $H_{1}=G_{1}\,$ und $H_{i}=H_{i-1}\cap G_{i}$.

Es ist leicht ersichtlich, dass

$\forall n\in \mathbb {N} (H_{n}\supset H_{n+1})$

genau so wie

$\bigcap _{n=1}^{m}G_{n}=\bigcap _{n=1}^{m}H_{n}$

für jedes $m$, folglich

$G=\bigcap _{n=1}^{\infty }H_{n}$.

Wir definieren die Funktionen $f_{H}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ für jede offene Menge $H$ sowie die Funktion $s\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ wie folgt:

$f_{H}(x)={\begin{cases}0,&x\in H\cup (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\\1,&x\in ({\overline {H}}\setminus H)\cup (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\end{cases}}$

und

$s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}$.

Wir werden zeigen, dass $N(s)=G\,$, was auch bedeuten würde, dass $G\in \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}$.

Zuerst werden wir $N(f_{H})=H\,$ beweisen.

Falls $x\in H$, dann

$\exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset H$.

Die Funktion $f_{H}|_{\triangle (x)}\,$ ist konstant und deshalb stetig. Also ist $f_{H}\,$ in $x\,$ stetig.

Falls

$x\in {\overline {H}}\setminus H$,

dann gelten für jedes $\varepsilon >0$

$H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset$

sowie

$\forall z((z\in H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset )\Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1))$.

$f_{H}\,$ ist daher in $x\,$ unstetig.

Falls

$x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}$,

dann

$\exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}$.

Es gelten

$\triangle (x)\cap (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\neq \emptyset$

und

$\triangle (x)\cap (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\neq \emptyset$.

Also ist $f_{H}\,$ auch in diesem Fall in $x\,$ unstetig.

Jetzt werden wir uns die Funktion $s$ genauer anschauen. Die Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}\qquad (\#)$

wird von der konvergenten Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}$

majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da $f_{H_{n}}$ in $G\,$ stetige Funktionen sind ($n\in \mathbb {N}$) und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss $s\,$ in $G\,$ auch stetig sein, sprich $N(s)\supset G$. Den Beweis werden wir abschließen, indem wir zeigen werden, dass $s\,$ für jedes $x\in \mathbb {R} \setminus G$ unstetig ist.

Seien $x\notin G$ und $m:=\min\{n\in \mathbb {N} :x\notin H_{n}\}$.

Dann gilt

$s(x)=\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}$.

Falls

$x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{m}}}$,

dann

$x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{n}}}$ für jedes $n\geq m$

und daher

$\exists \delta \forall n(n\geq m\Rightarrow \triangle _{\delta }(x)\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H_{n}}})$,

wobei $\triangle _{\delta }(x):=\{y:|y-x|<\delta \}$.

Für $y\in \triangle _{\delta }(x)$ ist

$s(y)={\begin{cases}0,&y\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\\sum _{n=m}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}>0,&y\in \mathbb {Q} \end{cases}}$.

Es gilt also $x\notin N(s)$.

Falls

$x\in {\overline {H_{m}}}\setminus H_{m}$,

dann gelten

$\forall \delta >0\ \triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\neq \emptyset$

und

$\forall y\left(y\in \triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\Rightarrow s(y)\leq \sum _{n=m+1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}<{\frac {1}{3^{m}}}\right)$,

aber

$s(x)\geq {\frac {f_{H_{m}}(x)}{3^{m}}}={\frac {1}{3^{m}}}$.

Auch in diesem Fall haben wir also

$x\notin N(s)$

gezeigt.

$\Box$

Wikipedia-Verweise

Satz von Young - Borelsche σ-Algebra