Beweisarchiv: Mengenlehre: Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

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Beweisarchiv: Mengenlehre

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Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Satz[Bearbeiten]

sei die Menge aller -Mengen Untermengen von ,

- die Menge der Funktionen:

,

und die Menge der Stetigkeitsstellen von . Es gilt

.

Beweis[Bearbeiten]

Zunächst werden wir die Inklusion zeigen.

Sei .

sei für jedes eine solche Umgebung von so dass

Die Mengen und seien wie folgt definiert

und

sind offene Mengen, folglich die Mengen auch und ist borelsche -Menge. Wir werden zeigen, dass .

Aus

sieht man, dass

In die andere Richtung:

Aus folgt und

Man nehme an, dass . Dann ist für jedes und für jedes existiert eine solche Umgebung von , so dass und

Nach der Definition von

also ist

Damit haben wir und bewiesen. Es bleibt noch zu zeigen.

Sei

und

sei die Darstellung von als Durchschnitt der offenen Mengen . Sei ausserdem und

Es ist leicht ersichtlich, dass

genau so wie

für jedes , folglich

.

Wir definieren die Funktionen für jede offene Menge sowie die Funktion wie folgt

und

Wir werden zeigen, dass , was auch bedeuten würde, dass .

Zuerst werden wir beweisen.

Falls , dann

Die Funktion ist konstant und deshalb stetig. Also ist in stetig.

Falls

dann gilt für jede

sowie

ist daher in unstetig.

Falls

dann

Es gilt

und

Also ist auch in diesem Fall in unstetig.

Jetzt werden wir uns die Funktion genauer anschauen. Die Reihe

wird von der konvergenten Reihe

majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da in stetige Funktionen sind und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss in auch stetig sein spricht Den Beweis werden wir abschliessen, in dem wir zeigen werden, dass für jede unstetig ist.

Sei und

Dann gilt

Falls

dann

für jede

und daher

wobei

Für ist

Es gilt also .

Falls

dann gilt

und

,

aber

Auch in diesem Fall haben wir also

gezeigt.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Satz von Young - Borelsche σ-Algebra