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Beweisarchiv: Mengenlehre: Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

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Beweisarchiv: Mengenlehre

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sei die Menge aller -Teilmengen von ,

sei die Menge der Funktionen

,

und die Menge der Stetigkeitsstellen von . Es gilt

.

Beweis

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Zunächst werden wir die Inklusion zeigen.

Sei .

sei für jedes eine offene Umgebung von so dass .

Die Mengen und seien wie folgt definiert:

und

.

sind offene Mengen, folglich die Mengen auch () und ist borelsche -Menge. Wir werden zeigen, dass gilt.

Aus

sieht man, dass

.

In die andere Richtung:

Aus folgt und

Man nehme an, dass . Dann ist für jedes und für jedes existiert eine solche Umgebung von , dass und .

Nach der Definition von gilt

,

also ist .

Damit haben wir und bewiesen. Es bleibt noch zu zeigen.

Sei

und sei

die Darstellung von als Durchschnitt der offenen Mengen . Seien außerdem und .

Es ist leicht ersichtlich, dass

genau so wie

für jedes , folglich

.

Wir definieren die Funktionen für jede offene Menge sowie die Funktion wie folgt:

und

.

Wir werden zeigen, dass , was auch bedeuten würde, dass .

Zuerst werden wir beweisen.

Falls , dann

.

Die Funktion ist konstant und deshalb stetig. Also ist in stetig.

Falls

,

dann gelten für jedes

sowie

.

ist daher in unstetig.

Falls

,

dann

.

Es gelten

und

.

Also ist auch in diesem Fall in unstetig.

Jetzt werden wir uns die Funktion genauer anschauen. Die Reihe

wird von der konvergenten Reihe

majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da in stetige Funktionen sind () und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss in auch stetig sein, sprich . Den Beweis werden wir abschließen, indem wir zeigen werden, dass für jedes unstetig ist.

Seien und .

Dann gilt

.

Falls

,

dann

für jedes

und daher

,

wobei .

Für ist

.

Es gilt also .

Falls

,

dann gelten

und

,

aber

.

Auch in diesem Fall haben wir also

gezeigt.

Wikipedia-Verweise

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Satz von Young - Borelsche σ-Algebra