Beweisarchiv: Mengenlehre: Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Satz

${\mathfrak {G}}$ sei die Menge aller $G_{\delta }$ -Teilmengen von $\mathbb {R}$ ,

${\mathfrak {F}}$ sei die Menge der Funktionen

f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}

,

und $N(f)\,$ die Menge der Stetigkeitsstellen von $f\in {\mathfrak {F}}$ . Es gilt

\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}={\mathfrak {G}}

.

Beweis

Zunächst werden wir die Inklusion $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}$ zeigen.

Sei $f\in {\mathfrak {F}}$ .

$\triangle _{k}(x)$ sei für jedes $x\in N(f)$ eine offene Umgebung von $x,\,$ so dass $\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}(x)\Rightarrow |f(\xi )-f(x)|<{\frac {1}{2k}}\right)$ .

Die Mengen $G_{k}$ und $G$ seien wie folgt definiert:

$G_{k}=\bigcup _{x\in N(f)}\triangle _{k}(x)$

und

$G=\bigcap _{k=1}^{\infty }G_{k}$ .

$\triangle _{k}(x)$ sind offene Mengen, folglich die Mengen $G_{k}$ auch ( $k\in \mathbb {N}$ ) und $G$ ist borelsche $G_{\delta }$ -Menge. Wir werden zeigen, dass $N(f)=G\,$ gilt.

Aus

\forall x\forall k(x\in N(f)\Rightarrow x\in \triangle _{k}(x))\Rightarrow \forall x\forall k\left(x\in N(f)\Rightarrow x\in G_{k}\right)\Rightarrow \forall x\ (x\in N(f)\Rightarrow x\in G)

sieht man, dass

N(f)\subset G

.

In die andere Richtung:

Aus $y\in G$ folgt $\forall k\ (y\in G_{k})$ und

\forall k\exists x_{k}(x_{k}\in N(f)\Rightarrow y\in \triangle _{k}(x_{k})).

Man nehme an, dass $y\notin N(f)$ . Dann ist $y\neq x_{k}$ für jedes $k$ und für jedes $k$ existiert eine solche Umgebung $\triangle _{k}^{\star }(y)$ von $y$ , dass $x_{k}\notin \triangle _{k}^{\star }(y)$ und $\triangle _{k}^{\star }(y)\subset \triangle _{k}(x_{k})$ .

Nach der Definition von $\triangle _{k}(x)$ gilt

\forall k\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}^{\star }(y)\Rightarrow |f(y)-f(\xi )|<{\frac {1}{k}}\right)

,

also ist $y\in N(f)$ .

Damit haben wir $N(f)\in {\mathfrak {G}}$ und $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}$ bewiesen. Es bleibt noch $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\supset {\mathfrak {G}}$ zu zeigen.

Sei

G\in {\mathfrak {G}}

und sei

G=\bigcap _{n=1}^{\infty }{G_{n}}

die Darstellung von $G$ als Durchschnitt der offenen Mengen $\{G_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ . Seien außerdem $H_{1}=G_{1}\,$ und $H_{i}=H_{i-1}\cap G_{i}$ .

Es ist leicht ersichtlich, dass

\forall n\in \mathbb {N} (H_{n}\supset H_{n+1})

genau so wie

\bigcap _{n=1}^{m}G_{n}=\bigcap _{n=1}^{m}H_{n}

für jedes $m$ , folglich

G=\bigcap _{n=1}^{\infty }H_{n}

.

Wir definieren die Funktionen $f_{H}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ für jede offene Menge $H$ sowie die Funktion $s\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ wie folgt:

f_{H}(x)={\begin{cases}0,&x\in H\cup (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\\1,&x\in ({\overline {H}}\setminus H)\cup (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\end{cases}}

und

s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}

.

Wir werden zeigen, dass $N(s)=G\,$ , was auch bedeuten würde, dass $G\in \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}$ .

Zuerst werden wir $N(f_{H})=H\,$ beweisen.

Falls $x\in H$ , dann

\exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset H

.

Die Funktion $f_{H}|_{\triangle (x)}\,$ ist konstant und deshalb stetig. Also ist $f_{H}\,$ in $x\,$ stetig.

Falls

x\in {\overline {H}}\setminus H

,

dann gelten für jedes $\varepsilon >0$

H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset

sowie

\forall z((z\in H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset )\Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1))

.

$f_{H}\,$ ist daher in $x\,$ unstetig.

Falls

x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}

,

dann

\exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}

.

Es gelten

\triangle (x)\cap (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\neq \emptyset

und

\triangle (x)\cap (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\neq \emptyset

.

Also ist $f_{H}\,$ auch in diesem Fall in $x\,$ unstetig.

Jetzt werden wir uns die Funktion $s$ genauer anschauen. Die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}\qquad (\#)

wird von der konvergenten Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}

majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da $f_{H_{n}}$ in $G\,$ stetige Funktionen sind ( $n\in \mathbb {N}$ ) und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss $s\,$ in $G\,$ auch stetig sein, sprich $N(s)\supset G$ . Den Beweis werden wir abschließen, indem wir zeigen werden, dass $s\,$ für jedes $x\in \mathbb {R} \setminus G$ unstetig ist.