Beweisarchiv: Mengenlehre
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- Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
- Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
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- Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
- Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn
sei die Menge aller
-Mengen Untermengen von
,
- die Menge der Funktionen:
,
und
die Menge der Stetigkeitsstellen von
. Es gilt
.
Zunächst werden wir die Inklusion
zeigen.
Sei
.
sei für jedes
eine solche Umgebung von
so dass
Die Mengen
und
seien wie folgt definiert
und
sind offene Mengen, folglich die Mengen
auch und
ist borelsche
-Menge. Wir werden zeigen, dass
.
Aus

sieht man, dass

In die andere Richtung:
Aus
folgt
und

Man nehme an, dass
. Dann ist
für jedes
und für jedes
existiert eine solche Umgebung
von
, so dass
und
Nach der Definition von

also ist
Damit haben wir
und
bewiesen. Es bleibt noch
zu zeigen.
Sei

und

sei die Darstellung von
als Durchschnitt der offenen Mengen
. Sei ausserdem
und
Es ist leicht ersichtlich, dass

genau so wie

für jedes
, folglich
.
Wir definieren die Funktionen
für jede offene Menge
sowie die Funktion
wie folgt

und

Wir werden zeigen, dass
, was auch bedeuten würde, dass
.
Zuerst werden wir
beweisen.
Falls
, dann

Die Funktion
ist konstant und deshalb stetig. Also ist
in
stetig.
Falls

dann gilt für jede

sowie

ist daher in
unstetig.
Falls

dann

Es gilt

und

Also ist
auch in diesem Fall in
unstetig.
Jetzt werden wir uns die Funktion
genauer anschauen. Die Reihe

wird von der konvergenten Reihe

majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da
in
stetige Funktionen sind und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss
in
auch stetig sein spricht
Den Beweis werden wir abschliessen, in dem wir zeigen werden, dass
für jede
unstetig ist.
Sei
und
Dann gilt

Falls

dann
für jede 
und daher

wobei
Für
ist

Es gilt also
.
Falls

dann gilt

und
,
aber

Auch in diesem Fall haben wir also

gezeigt.
Satz von Young -
Borelsche σ-Algebra