Beweisarchiv: Mengenlehre: Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

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Beweis[Bearbeiten]

Zunächst werden wir die Inklusion $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}$ zeigen.

Sei $f\in {\mathfrak {F}}$ .

$\triangle _{k}(x)$ sei für jedes $x\in N(f)$ eine solche Umgebung von $x,\,$ so dass $\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}(x)\Rightarrow |f(\xi )-f(x)|<{\frac {1}{2k}}\right),$

Die Mengen $G_{k}$ und $G$ seien wie folgt definiert

$G_{k}=\bigcup _{x\in N(f)}\triangle _{k}(x)$

und

$G=\bigcap _{k=1}^{\infty }G_{k}.$

$\triangle _{k}(x)$ sind offene Mengen, folglich die Mengen $\{G_{k}\}$ auch und $G$ ist borelsche $G_{\delta }$ -Menge. Wir werden zeigen, dass $N(f)=G\,$ .

Aus

\forall x\forall k(x\in N(f)\Rightarrow x\in \triangle _{k}(x))\Rightarrow \forall x\forall k\left(x\in N(f)\Rightarrow x\in G_{k}\right)\Rightarrow \forall x\ (x\in N(f)\Rightarrow x\in G).

sieht man, dass

N(f)\subset G.

In die andere Richtung:

Aus $y\in G$ folgt $\forall k\ (y\in G_{k})$ und

\forall k\exists x_{k}(x_{k}\in N(f)\Rightarrow y\in \triangle _{k}(x_{k})).

Man nehme an, dass $y\notin N(f)$ . Dann ist $y\neq x_{k}$ für jedes $k$ und für jedes $k$ existiert eine solche Umgebung $\triangle _{k}^{\star }(y)$ von $y$ , so dass $x_{k}\notin \triangle _{k}^{\star }(y)$ und $\triangle _{k}^{\star }(y)\subset \triangle _{k}(x_{k}).$

Nach der Definition von $\triangle _{k}(x)$

\forall k\forall \xi \left(\xi \in \triangle _{k}^{\star }(y)\Rightarrow |f(y)-f(\xi )|<{\frac {1}{k}}\right),

also ist $y\in N(f).$

Damit haben wir $N(f)\in {\mathfrak {G}}$ und $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\subset {\mathfrak {G}}$ bewiesen. Es bleibt noch $\{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}\supset {\mathfrak {G}}$ zu zeigen.

Sei

G\in {\mathfrak {G}}

und

G=\bigcap _{n=1}^{\infty }{G_{n}},

sei die Darstellung von $G$ als Durchschnitt der offenen Mengen $\{G_{n}\}_{n=1,2,...},$ . Sei ausserdem $H_{1}=G_{1}\,$ und $H_{i}=H_{i-1}\cap G_{i}.$

Es ist leicht ersichtlich, dass

H_{1}\supset H_{2}\supset \ldots \supset H_{n}\supset \ldots

genau so wie

\bigcap _{n=1}^{m}G_{n}=\bigcap _{n=1}^{m}H_{n}

für jedes $m$ , folglich

G=\bigcap _{n=1}^{\infty }H_{n}

.

Wir definieren die Funktionen $f_{H}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ für jede offene Menge $H$ sowie die Funktion $s:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ wie folgt

f_{H}(x)={\begin{cases}0,&x\in H\cup (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\\1,&x\in ({\overline {H}}\setminus H)\cup (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\end{cases}}

und

s(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}.

Wir werden zeigen, dass $N(s)=G\,$ , was auch bedeuten würde, dass $G\in \{N(f)\}_{f\in {\mathfrak {F}}}$ .

Zuerst werden wir $N(f_{H})=H\,$ beweisen.

Falls $x\in H$ , dann

\exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset H.

Die Funktion $f_{H}|_{\triangle (x)}\,$ ist konstant und deshalb stetig. Also ist $f_{H}\,$ in $x\,$ stetig.

Falls

x\in {\overline {H}}\setminus H,

dann gilt für jede $\varepsilon >0$

H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset

sowie

\forall z((z\in H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset )\Rightarrow (|f(x)-f(z)|=1)).

$f_{H}\,$ ist daher in $x\,$ unstetig.

Falls

x\in \mathbb {R} \setminus {\overline {H}},\,

dann

\exists \varepsilon (x)>0\ \triangle (x)=\{y:|y-x|<\varepsilon (x)\}\subset \mathbb {R} \setminus {\overline {H}}.

Es gilt

\triangle (x)\cap (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\neq \emptyset

und

\triangle (x)\cap (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\neq \emptyset

Also ist $f_{H}\,$ auch in diesem Fall in $x\,$ unstetig.

Jetzt werden wir uns die Funktion $s(x)\,$ genauer anschauen. Die Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}\qquad (\#)

wird von der konvergenten Reihe

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}

majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da $\{f_{H_{n}}\}_{n}$ in $G\,$ stetige Funktionen sind und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss $s(x)\,$ in $G\,$ auch stetig sein spricht $N(s)\supset G.$ Den Beweis werden wir abschliessen, in dem wir zeigen werden, dass $s(x)\,$ für jede $x\in \mathbb {R} \setminus G$ unstetig ist.