Beweisarchiv: Mengenlehre
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- Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
- Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
- Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
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- Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
- Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn
sei die Menge aller
-Teilmengen von
,
sei die Menge der Funktionen
,
und
die Menge der Stetigkeitsstellen von
. Es gilt
.
Zunächst werden wir die Inklusion
zeigen.
Sei
.
sei für jedes
eine offene Umgebung von
so dass
.
Die Mengen
und
seien wie folgt definiert:
und
.
sind offene Mengen, folglich die Mengen
auch (
) und
ist borelsche
-Menge. Wir werden zeigen, dass
gilt.
Aus
![{\displaystyle \forall x\forall k(x\in N(f)\Rightarrow x\in \triangle _{k}(x))\Rightarrow \forall x\forall k\left(x\in N(f)\Rightarrow x\in G_{k}\right)\Rightarrow \forall x\ (x\in N(f)\Rightarrow x\in G)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1640d36e2787e47f08788aaa61381cf189cb4ac2)
sieht man, dass
.
In die andere Richtung:
Aus
folgt
und
![{\displaystyle \forall k\exists x_{k}(x_{k}\in N(f)\Rightarrow y\in \triangle _{k}(x_{k})).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e76b54df6b75d379e3a94b968d9d748ba031457)
Man nehme an, dass
. Dann ist
für jedes
und für jedes
existiert eine solche Umgebung
von
, dass
und
.
Nach der Definition von
gilt
,
also ist
.
Damit haben wir
und
bewiesen. Es bleibt noch
zu zeigen.
Sei
![{\displaystyle G\in {\mathfrak {G}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54da3ae19d8bb63deb5f8ead9d0fb8dd8c9fa0e4)
und sei
![{\displaystyle G=\bigcap _{n=1}^{\infty }{G_{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0ccdb7ee604fe77371be8f082b567a28628a90)
die Darstellung von
als Durchschnitt der offenen Mengen
. Seien außerdem
und
.
Es ist leicht ersichtlich, dass
![{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} (H_{n}\supset H_{n+1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fddfe1e8142aa290f142c0f6ed8d13a67ca1491)
genau so wie
![{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{m}G_{n}=\bigcap _{n=1}^{m}H_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4bbe4da54c4f2b3c4dab91e810c8d0d436dbd24)
für jedes
, folglich
.
Wir definieren die Funktionen
für jede offene Menge
sowie die Funktion
wie folgt:
![{\displaystyle f_{H}(x)={\begin{cases}0,&x\in H\cup (\mathbb {R} \setminus ({\overline {H}}\cup \mathbb {Q} ))\\1,&x\in ({\overline {H}}\setminus H)\cup (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1388830682c13dd88757f6f8b4799818ef40767f)
und
.
Wir werden zeigen, dass
, was auch bedeuten würde, dass
.
Zuerst werden wir
beweisen.
Falls
, dann
.
Die Funktion
ist konstant und deshalb stetig. Also ist
in
stetig.
Falls
,
dann gelten für jedes
![{\displaystyle H\cap \{y:|y-x|<\varepsilon \}\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8acc3693ff0fb67d7d4108dd3557bf2023c0d2fe)
sowie
.
ist daher in
unstetig.
Falls
,
dann
.
Es gelten
![{\displaystyle \triangle (x)\cap (\mathbb {Q} \cap (\mathbb {R} \setminus {\overline {H}}))\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/adcf090ff1f262617949b5d9af5a6b3d44ecadfc)
und
.
Also ist
auch in diesem Fall in
unstetig.
Jetzt werden wir uns die Funktion
genauer anschauen. Die Reihe
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f_{H_{n}}(x)}{3^{n}}}\qquad (\#)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e7b80720853c9950e4e39f06ce6f64e7df13939)
wird von der konvergenten Reihe
![{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6e2a6829f39c7a086d76619f79f605d82801d09)
majoriert und ist daher gleichmäßig konvergent. Da
in
stetige Funktionen sind (
) und weil (#) gleichmäßig stetig ist, muss
in
auch stetig sein, sprich
. Den Beweis werden wir abschließen, indem wir zeigen werden, dass
für jedes
unstetig ist.
Seien
und
.
Dann gilt
.
Falls
,
dann
für jedes ![{\displaystyle n\geq m}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55d283f7f34d2e5d5aa08d7239f13f97f18c9bd0)
und daher
,
wobei
.
Für
ist
.
Es gilt also
.
Falls
,
dann gelten
![{\displaystyle \forall \delta >0\ \triangle _{\delta }(x)\cap H_{m}\neq \emptyset }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de5c1a2021a7839725854aef7f1f853fc94b6320)
und
,
aber
.
Auch in diesem Fall haben wir also
![{\displaystyle x\notin N(s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e35c686e198f9d9f39c935533e50f8951bfd1a5)
gezeigt.
Satz von Young -
Borelsche σ-Algebra