Beweisarchiv: Mengenlehre: Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen

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Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung

Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

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Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Seien $f:A\to B$, $g:B\to C$ und $h:C\to D$ drei Funktionen. Dann gilt

$(h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f)$.

Beweis

Zwei Funktionen sind genau dann gleich, wenn sie den gleichen Definitionsbereich haben und jedes Element dieses Definitionsbereiches auf dasselbe Element abbilden. Hier gilt

$\operatorname {Dom} ((h\circ g)\circ f)=A=\operatorname {Dom} (g\circ f)=\operatorname {Dom} (h\circ (g\circ f))$.

Außerdem gilt für jedes $x\in A$

$(h\circ g)\circ f(x)=h\circ g(f(x))=h(g(f(x)))=h\circ (g\circ f(x))=h\circ (g\circ f)(x)$.