Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Nachfolger

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Beweisarchiv: Mengenlehre

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Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Satz[Bearbeiten]

Ist eine Ordinalzahl, so ist auch eine Ordinalzahl und zwar die kleinste Ordinalzahl, die enthält.

Bemerkung: heißt Nachfolger von .

Beweis[Bearbeiten]

Verwendet wird

(1) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen
(2) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen
(3) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element

Setze . Sei . Dann oder Daher gilt gewiss (und zwar im zweiten Fall wegen der Transitivität von ) auch , d.h. ist transitiv.

Die Elemente von sind die Ordinalzahl sowie die Elemente von , die gemäß (1) ebenfalls Ordinalzahlen sind. Als Menge von Ordinalzahlen ist laut (2) durch wohlgeordnet.

Insgesamt folgt, dass Ordinalzahl ist.

Sei jetzt eine Ordinalzahl mit . Per Transitivität folgt auch , also . Wegen (3) gilt und erst recht . Wegen (2) gilt also entweder oder , d. h. ist die kleinste als Element enthaltende Ordinalzahl.