Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Nachfolger
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- Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
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- Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
- Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn
Satz
[Bearbeiten]Ist eine Ordinalzahl, so ist auch eine Ordinalzahl und zwar die kleinste Ordinalzahl, die enthält.
Bemerkung: heißt Nachfolger von .
Beweis
[Bearbeiten]Verwendet wird
- (1) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen
- (2) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen
- (3) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element
Setze . Sei . Dann oder Daher gilt gewiss (und zwar im zweiten Fall wegen der Transitivität von ) auch , d.h. ist transitiv.
Die Elemente von sind die Ordinalzahl sowie die Elemente von , die gemäß (1) ebenfalls Ordinalzahlen sind. Als Menge von Ordinalzahlen ist laut (2) durch wohlgeordnet.
Insgesamt folgt, dass Ordinalzahl ist.
Sei jetzt eine Ordinalzahl mit . Per Transitivität folgt auch , also . Wegen (3) gilt und erst recht . Wegen (2) gilt also entweder oder , d. h. ist die kleinste als Element enthaltende Ordinalzahl.