Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Im folgenden wird folgende Definition verwendet:

Eine Menge heißt Ordinalzahl, wenn transitiv und durch wohlgeordnet ist, d. h.
  • aus folgt stets ,
  • für je zwei Elemente gilt genau eine der Aussagen oder oder ,
  • jede nichtleere Teilmenge enthält ein -minimales Element , d. h. dieses erfüllt für alle .

Die Klasse aller Ordinalzahlen wird mit bezeichnet.

Soweit nicht anders angegeben, werden die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Fundierungsaxiom und ohne Unendlichkeitsaxiom verwendet.