Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge

Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young

Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild

Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen

Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Im folgenden wird folgende Definition verwendet:

Eine Menge $x$ heißt Ordinalzahl, wenn $x$ transitiv und durch $\in$ wohlgeordnet ist, d. h.

• aus $a\in x$ folgt stets $a\subseteq x$,
• für je zwei Elemente $a,b\in x$ gilt genau eine der Aussagen $a\in b$ oder $a=b$ oder $a\ni b$,
• jede nichtleere Teilmenge $A\subseteq x$ enthält ein $\in$-minimales Element $m:=\min A$, d. h. dieses erfüllt $m\in a$ für alle $a\in A\setminus \{m\}$.

Die Klasse aller Ordinalzahlen wird mit $\mathrm {On}$ bezeichnet.

Soweit nicht anders angegeben, werden die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Fundierungsaxiom und ohne Unendlichkeitsaxiom verwendet.