Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen
Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Im folgenden wird folgende Definition verwendet:

Eine Menge heißt Ordinalzahl, wenn transitiv und durch wohlgeordnet ist, d. h.
  • aus folgt stets ,
  • für je zwei Elemente gilt genau eine der Aussagen oder oder ,
  • jede nichtleere Teilmenge enthält ein -minimales Element , d. h. dieses erfüllt für alle .

Die Klasse aller Ordinalzahlen wird mit bezeichnet.

Soweit nicht anders angegeben, werden die Axiome der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ohne Fundierungsaxiom und ohne Unendlichkeitsaxiom verwendet.