Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: De Morgansche Regeln für Mengen

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Sei $X$ eine Menge und seien $A_{i}$ Mengen für $i \in I$ mit beliebiger Indexmenge $I$ . Dann gelten die folgenden Gleichungen:

$X ∖ (⋃_{i \in I} A_{i}) = ⋂_{i \in I} (X ∖ A_{i})$
$X ∖ (⋂_{i \in I} A_{i}) = ⋃_{i \in I} (X ∖ A_{i})$

Spezialfall

Seien $A, B, C$ drei Mengen. Dann gelten die beiden Gleichungen

(a) $A ∖ (B \cup C) = (A ∖ B) \cap (A ∖ C)$ und
(b) $A ∖ (B \cap C) = (A ∖ B) \cup (A ∖ C)$ .

Beweis

\begin{matrix} X ∖ (⋃_{i \in I} A_{i}) & \overset{(1)}{=} {x \in X ∣ x \notin ⋃_{i \in I} A_{i}} \\ \overset{(2)}{=} {x \in X ∣ \neg (x \in ⋃_{i \in I} A_{i})} \\ \overset{(3)}{=} {x \in X ∣ \neg (\exists i \in I : x \in A_{i})} \\ \overset{(4)}{=} {x \in X ∣ \forall i \in I : \neg (x \in A_{i})} \\ \overset{(2)}{=} {x \in X ∣ \forall i \in I : x \notin A_{i}} \\ \overset{(1)}{=} {x \in X ∣ \forall i \in I : x \in X ∖ A_{i}} \\ \overset{(5)}{=} ⋂_{i \in I} (X ∖ A_{i}) \end{matrix}

(1): Definition der mengentheoretischen Differenz

(2): Definition von $\notin$

(3): Definition der Vereinigungsmenge

(4): Allaussage ist äquivalent zu verneinter Existenzaussage

(5): Definition der Schnittmenge

Analog gilt für den zweiten Teil:

\begin{matrix} X ∖ (⋂_{i \in I} A_{i}) & = {x \in X ∣ x \notin ⋂_{i \in I} A_{i}} \\ = {x \in X ∣ \neg (x \in ⋂_{i \in I} A_{i})} \\ = {x \in X ∣ \neg (\forall i \in I : x \in A_{i})} \\ = {x \in X ∣ \exists i \in I : \neg (x \in A_{i})} \\ = {x \in X ∣ \exists i \in I : x \notin A_{i}} \\ = {x \in X ∣ \exists i \in I : x \in X ∖ A_{i}} \\ = ⋃_{i \in I} (X ∖ A_{i}) \end{matrix}

Beweis des Spezialfalls

(a) Die Menge links des Gleichheitszeichens enthält alle Elemente von $A$ , die keine Elemente von $B$ oder $C$ sind, also $x \in A \land x \notin B \land x \notin C$ . Die rechte Menge enthält alle Elemente, für die gilt $x \in A \land x \notin B \land x \in A \land x \notin C$ also ebenfalls $x \in A \land x \notin B \land x \notin C$ , und damit ist die Gleichheit gezeigt.
(b) Die Menge links des Gleichheitszeichens enthält alle Elemente von $A$ , die keine Elemente von $B$ und $C$ sind, also $x \in A \land (x \notin B \lor x \notin C)$ . Die rechte Menge enthält alle Elemente, für die gilt $(x \in A \land x \notin B) \lor (x \in A \land x \notin C)$ , also ebenfalls $x \in A \land (x \notin B \lor x \notin C)$ , womit die Gleichheit gezeigt ist