Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Limes- und Nachfolgerzahlen

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Satz[Bearbeiten]

Für jede Ordinalzahl gilt genau eine der folgenden Aussagen:

  • Es gibt eine Ordinalzahl mit
  • .

Bemerkung: Zahlen der ersten Art heißen Nachfolgerzahlen, Zahlen der zweiten Art (außer ) heißen Limeszahlen.

Beweis[Bearbeiten]

Verwendet werden:

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element
(2) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen
(3) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen
(4) Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl
(5) Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

Sei eine Ordinalzahl.

Setze und . Mit ist laut (2) und (5) auch eine Ordinalzahl und dann wegen (4) auch . Gemäß (3) gilt oder oder . Angenommen . Dann folgt entweder (und wir sind fertig, ist von der zweiten Art) oder , hieraus dann für ein und per Transitivität im Widerspruch zu (1). Angenommen . Dann folgt , also im Widerspruch zu (1). Somit bleibt nur als dritte Möglichkeit , d. h. ist Nachfolgerzahl.

Zu zeigen ist noch: Falls für eine Ordinalzahl , kann nicht zugleich gelten. Es genügt zu zeigen, dass . Angenommen, . Dann für ein . Wegen folgt oder . Es ergibt sich also sofort oder per Transitivität von , dass im Widerspruch zu (1). Folglich in der Tat .