Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linkskürzbarkeit

Beweisarchiv: Mengenlehre

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Injektivität und Linkskürzbarkeit

Voraussetzung

$f\colon A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f\$ ist injektiv $\Longleftrightarrow$ $f\$ ist linkskürzbar.

(Dabei heißt $f\$ linkskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen $g,h\colon C\to A$ aus $f\circ g=f\circ h$ schon $g=h\$ folgt.)

Beweis

• $\Rightarrow$ : $f\$ werde als injektiv vorausgesetzt und $g,h\colon C\to A$ seien beliebige Abbildungen mit $f\circ g=f\circ h$. Wir müssen $g=h\$ zeigen.
  Dazu sei $c\in C$ beliebig. Wegen $f\circ g=f\circ h$ gilt $f(g(c))=f(h(c))\$. Die Injektivität von $f\$ liefert $g(c)=h(c)\$. Damit ist $g=h\$ gezeigt.
• $\Leftarrow$ : $f\$ werde als linkskürzbar vorausgesetzt. Es seien nun zwei Elemente $x,y\in A$ mit $f(x)=f(y)\$ gegeben. Wir müssen $x=y\$ zeigen.
  Dazu definieren wir zwei konstante Abbildungen $g,h\colon A\to A$, nämlich $g\colon a\mapsto x$ und $h\colon a\mapsto y$. Wegen $f(x)=f(y)\$ gilt für die Kompositionen $f\circ g=f\circ h$. Die Linkskürzbarkeit von $f\$ liefert $g=h\$, was gleichbedeutend mit $x=y\$ ist.

Wikipedia-Verweise

Injektivität - Komposition

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