Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linkskürzbarkeit

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen
Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Injektivität und Linkskürzbarkeit[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

ist injektiv ist linkskürzbar.

(Dabei heißt linkskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen aus schon folgt.)

Beweis[Bearbeiten]

  •  : werde als injektiv vorausgesetzt und seien beliebige Abbildungen mit . Wir müssen zeigen.
    Dazu sei beliebig. Wegen gilt . Die Injektivität von liefert . Damit ist gezeigt.
  •  : werde als linkskürzbar vorausgesetzt. Es seien nun zwei Elemente mit gegeben. Wir müssen zeigen.
    Dazu definieren wir zwei konstante Abbildungen , nämlich und . Wegen gilt für die Kompositionen . Die Linkskürzbarkeit von liefert , was gleichbedeutend mit ist.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Injektivität - Komposition


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