Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linkskürzbarkeit

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Injektivität und Linkskürzbarkeit[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

ist injektiv ist linkskürzbar.

(Dabei heißt linkskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen aus schon folgt.)

Beweis[Bearbeiten]

  •  : werde als injektiv vorausgesetzt und seien beliebige Abbildungen mit . Wir müssen zeigen.
    Dazu sei beliebig. Wegen gilt . Die Injektivität von liefert . Damit ist gezeigt.
  •  : werde als linkskürzbar vorausgesetzt. Es seien nun zwei Elemente mit gegeben. Wir müssen zeigen.
    Dazu definieren wir zwei konstante Abbildungen , nämlich und . Wegen gilt für die Kompositionen . Die Linkskürzbarkeit von liefert , was gleichbedeutend mit ist.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Injektivität - Komposition


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