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Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Linkskürzbarkeit

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen
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Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild
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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Injektivität und Linkskürzbarkeit

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Voraussetzung

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sei eine Abbildung.

Behauptung

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ist injektiv ist linkskürzbar.

(Dabei heißt linkskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen aus schon folgt.)

Beweis

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  •  : werde als injektiv vorausgesetzt und seien beliebige Abbildungen mit . Wir müssen zeigen.
    Dazu sei beliebig. Wegen gilt . Die Injektivität von liefert . Damit ist gezeigt.
  •  : werde als linkskürzbar vorausgesetzt. Es seien nun zwei Elemente mit gegeben. Wir müssen zeigen.
    Dazu definieren wir zwei konstante Abbildungen , nämlich und . Wegen gilt für die Kompositionen . Die Linkskürzbarkeit von liefert , was gleichbedeutend mit ist.

Wikipedia-Verweise

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Injektivität - Komposition


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