Beweisarchiv: Mengenlehre: Auswahlaxiom2

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen
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Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Äquivalenz der verschiedenen Darstellungsweisen des Auswahlaxioms[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Die Axiome von ZF

Behauptung[Bearbeiten]

Folgende beiden Sätze sind äquivalent:

Auswahlaxiom Form 1: Ist A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von A enthält.

Auswahlaxiom Form 2: Ist A eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f, die jedem Element B von A ein Element von B zuordnet. (Die Funktion f heißt dann Auswahlfunktion von A.

Beweis aus Form 1 folgt Form 2[Bearbeiten]

Sei eine Menge nichtleerer Mengen.

Sei

ist eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.

Wenn die Form 1 des Auswahlaxioms stimmt, dann gibt eis eine Menge , die genau ein Element aus jedem Element von enthält.

ist dann eine Funktion, die jedem Element von eines seiner Elemente zuordnet.

Also fogt aus der Form 1 des Auswahlaxioms die Form 2.

Beweis aus Form 2 folgt Form 1[Bearbeiten]

Sei A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.

Nach Auswahlaxiom Form 2 gibt es eine Funktion f die jedem Element B von A ein Element von B zuordent. Das Bild dieser Menge ist eine Menge die genau ein Element aus jedem Element von A enthält.

Also folgt aus dem Auswahlaxiom Form 2 das Auswahlaxiom Form 1.