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Beweisarchiv: Mengenlehre: Auswahlaxiom2

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Beweisarchiv: Mengenlehre

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Äquivalenz der verschiedenen Darstellungsweisen des Auswahlaxioms

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Voraussetzung

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Die Axiome von ZF

Behauptung

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Folgende beiden Sätze sind äquivalent:

Auswahlaxiom Form 1: Ist eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von enthält.

Auswahlaxiom Form 2: Ist eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion , die jedem Element von ein Element von zuordnet. (Die Funktion heißt dann Auswahlfunktion von .

Beweis aus Form 1 folgt Form 2

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Sei eine Menge nichtleerer Mengen.

Sei

ist eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.

Wenn die Form 1 des Auswahlaxioms stimmt, dann gibt es eine Menge , die genau ein Element aus jedem Element von enthält.

ist dann eine Funktion, die jedem Element von eines seiner Elemente zuordnet.

Also folgt aus der Form 1 des Auswahlaxioms die Form 2.

Beweis aus Form 2 folgt Form 1

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Sei A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.

Nach Auswahlaxiom Form 2 gibt es eine Funktion , die jedem Element von ein Element von zuordnet. Das Bild dieser Menge ist eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von enthält.

Also folgt aus dem Auswahlaxiom Form 2 das Auswahlaxiom Form 1.