Beweisarchiv: Mengenlehre: Auswahlaxiom2

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Äquivalenz der verschiedenen Darstellungsweisen des Auswahlaxioms[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Die Axiome von ZF

Behauptung[Bearbeiten]

Folgende beiden Sätze sind äquivalent:

Auswahlaxiom Form 1: Ist A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen, dann gibt es eine Menge, die genau ein Element aus jedem Element von A enthält.

Auswahlaxiom Form 2: Ist A eine Menge nichtleerer Mengen, dann gibt es eine Funktion f, die jedem Element B von A ein Element von B zuordnet. (Die Funktion f heißt dann Auswahlfunktion von A.

Beweis aus Form 1 folgt Form 2[Bearbeiten]

Sei eine Menge nichtleerer Mengen.

Sei

ist eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.

Wenn die Form 1 des Auswahlaxioms stimmt, dann gibt eis eine Menge , die genau ein Element aus jedem Element von enthält.

ist dann eine Funktion, die jedem Element von eines seiner Elemente zuordnet.

Also fogt aus der Form 1 des Auswahlaxioms die Form 2.

Beweis aus Form 2 folgt Form 1[Bearbeiten]

Sei A eine Menge von paarweise disjunkten nichtleeren Mengen.

Nach Auswahlaxiom Form 2 gibt es eine Funktion f die jedem Element B von A ein Element von B zuordent. Das Bild dieser Menge ist eine Menge die genau ein Element aus jedem Element von A enthält.

Also folgt aus dem Auswahlaxiom Form 2 das Auswahlaxiom Form 1.