Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Wohlordnung

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen
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Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Satz[Bearbeiten]

Die Klasse der Ordinalzahlen ist durch wohlgeordnet.

Beweis[Bearbeiten]

Verwendet wird

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element
(2) Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

Zu zeigen ist:

  1. Je zwei Ordinalzahlen sind vergleichbar, d.h. für Ordinalzahlen gilt entweder oder oder
    Seien zwei Ordinalzahlen. Falls und , so wegen der Transitivität von auch im Widerspruch zu (1). Falls und bzw. und , folgt direkt ebenfalls , also derselbe Widerspruch. Somit können zumindest nicht mehrere der Eigenschaften , , zugleich zutreffen.
    Falls folgt mit aus (2), dass oder . Somit ist die Trichotomiebedingung erfüllt.
  2. Jede nichtleere Klasse von Ordinalzahlen enthält ein -minimales Element
    Da nicht leer ist, gibt es eine Ordinalzahl . Wenn es kein mit gibt, ist bereits minimal. Ansonsten ist die Menge eine nichtleere Teilmenge von und enthält folglich ein minimales Element . Auch für jedes gilt oder , auf jeden Fall also . Insgesamt ist also auch minimales Element von .