Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Wohlordnung

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn

Satz[Bearbeiten]

Die Klasse der Ordinalzahlen ist durch wohlgeordnet.

Beweis[Bearbeiten]

Verwendet wird

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element
(2) Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen

Zu zeigen ist:

  1. Je zwei Ordinalzahlen sind vergleichbar, d.h. für Ordinalzahlen gilt entweder oder oder
    Seien zwei Ordinalzahlen. Falls und , so wegen der Transitivität von auch im Widerspruch zu (1). Falls und bzw. und , folgt direkt ebenfalls , also derselbe Widerspruch. Somit können zumindest nicht mehrere der Eigenschaften , , zugleich zutreffen.
    Falls folgt mit aus (2), dass oder . Somit ist die Trichotomiebedingung erfüllt.
  2. Jede nichtleere Klasse von Ordinalzahlen enthält ein -minimales Element
    Da nicht leer ist, gibt es eine Ordinalzahl . Wenn es kein mit gibt, ist bereits minimal. Ansonsten ist die Menge eine nichtleere Teilmenge von und enthält folglich ein minimales Element . Auch für jedes gilt oder , auf jeden Fall also . Insgesamt ist also auch minimales Element von .