Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: echte Klasse

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Beweisarchiv: Mengenlehre

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Satz[Bearbeiten]

Die Klasse ist eine echte Klasse.

Bemerkung: Wenn man annimmt, dass eine Menge ist, ergibt sich ein Widerspruch. Dies ist auch als Burali-Forti-Paradoxon bekannt.

Beweis[Bearbeiten]

Verwendet wird

(1) Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element
(2) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen
(3) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen

Wegen (2) ist transitiv. Ferner ist gemäß (3) durch wohlgeordnet. Wäre die Klasse eine Menge, so wäre eine Ordinalzahl und es würde gelten im Widerspruch zu (1). Folglich ist keine Menge.