Beweisarchiv: Mengenlehre: Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung

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Beweisarchiv: Mengenlehre

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Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
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Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Sind und zwei Mengen, so schreiben wir genau dann, wenn es eine injektive Abbildung gibt. Im folgenden wird gezeigt, dass diese Relation die Axiome einer linearen Ordnung erfüllt.

Hierdurch wird es sinnvoll, als sowie als zu definieren.

Reflexivität[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Sei eine beliebige Menge.

Behauptung[Bearbeiten]

.

Beweis[Bearbeiten]

Die identische Abbildung ist injektiv.

Transitivität[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Seien Mengen mit und .

Behauptung[Bearbeiten]

.

Beweis[Bearbeiten]

Nach Voraussetzung gibt es injektive Abbildungen und . Da die Komposition injektiver Abbildungen injektiv ist, leistet das Gewünschte.

Totalität[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Seien zwei Mengen.

Behauptung[Bearbeiten]

oder .

Beweis[Bearbeiten]

Dieser Beweis erfordert das Auswahlaxiom, hier in Form des Lemmas von Zorn.

Sei die Menge aller Graphen injektiver partieller Abbildungen von nach , d. h. enthält als Element genau dann, wenn

  1. Aus und mit , folgt
  2. Aus und mit , folgt .

Dann ist durch Mengeninklusion teilgeordnet. Sei eine linear geeordnete Teilmenge von . Setze

Dann ist eine obere Schranke von in , was sich wie folgt im Einzelnen zeigen lässt:

  • Als Vereinigung von Teilmengen von ist auch .
  • Seien , mit und . Dann gibt es mit und . Da total geordnet ist, gilt oder . Im ersten Fall folgt und daher wegen , im zweiten Fall und wiederum .
  • Dass aus und mit , stets folgt, ergibt sich analog.

Somit gilt zumindest . Nach Konstruktion gilt aber für alle , so dass in der Tat eine obere Schranke ist.

Nach dem Lemma von Zorn enthält folglich ein maximales Element . Man kann auffassen als den Graphen einer bijektiven Abbildung mit und .

Falls sowohl als auch gilt, so gibt es Elemente und . Hiermit kann man die Menge bilden. Diese erfüllt, wie sich direkt überprüfen lässt, die drei oben aufgeführten Eigenschaften, ist also ein Element von . Da echte Teilmenge von ist, ergibt sich ein Widerspruch zur Maximalität von Folglich muss oder gelten.

Falls , so ist auch eine injektive Abbildung , folglich . Falls dagegen , so ist die Umkehrung auch eine injektive Abbildung , folglich .