Beweisarchiv: Mengenlehre
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- Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn
Aus dem Auswahlaxiom folgt das Lemma von Zorn[Bearbeiten]
Die Axiome von ZFC
Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.
Sei
eine nichtleere durch eine Relation
halbgeordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke hat.
Sei
die Menge aller Ketten in
.
Für jedes
ist dann die Menge
nicht leer.
Wir nehmen an, dass
für kein
gilt.
Dann ist die Menge
eine Menge nichtleerer Mengen und besitzt daher eine Auswahlfunktion
.
Für
ist dann
echt größer als jedes Element von
.
Dann haben wir eine Abbildung
, die man sich durch
für
auf ganz
fortgesetzt denken kann.
Durch transfinite Rekursion definiert
eine Abbildung von der Klasse
der Ordinalzahlen nach
.
Behauptung:
- Für zwei Ordinalzahlen
gilt
.
Beweis per Induktion: Sei
Ordinalzahl und die Behauptung wahr für alle
.
Dann ist
total geordnet, denn aus
mit
folgt ja
oder
, nach Induktionsvoraussetzung also
oder
.
Dann folgt aber, dass
echt größer als jedes Element von
ist, das ist die Induktionsbehauptung.
Insbesondere ist die Abbildung
injektiv.
Auf der Menge
gibt es daher eine (linksseitige) Umkehrabbildung
, mit der wir die Menge
erhalten.
Es folgt dann jedoch
im Widerspruch dazu, dass
eine echte Klasse ist.
Daher muss die obige Annahme falsch sein, d.h es gibt ein
mit
.
Behauptung:
- Für solch ein
ist jedes Element
der Menge
ein maximales Element von
.
Ist nämlich
mit
, so ist auch
obere Schranke von
, wegen
also
.
Aber dann auch
, da
obere Schranke ist. Folglich
, d.h.
ist maximal.
Da
nicht leer ist, sind wir fertig.
Aus dem Lemma von Zorn folgt das Auswahlaxiom[Bearbeiten]
Die Axiome von ZF und der Satz:
- Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.
Jede Menge nichtleerer Mengen hat eine Auswahlfunktion
Sei
eine Menge nichtleerer Mengen.
Betrachte die Menge
aller partiellen Auswahlfunktionen auf
, d.h. die Menge der Funktionen
mit
und
für alle
. Mit anderen Worten ist
.
Wegen
ist
nicht leer.
Die Menge
ist durch Inklusion halbgeordnet.
Ist
eine Kette, so betrachte die Menge
.
Ist
,
und
, so gibt es ein
mit
.
Ebenso gibt es ein
mit
.
Da
Kette ist, gilt
oder
.
Ist
, so
,
,
.
Folglich
und
.
Somit ist
.
Da aus
sofort
folgt, ist
obere Schranke von
.
Nach dem Lemma von Zorn enthält
also ein maximales Element
.
Ist
,
und
leer, so ist für jedes Element
der nicht-leeren Menge
die Menge
ein Element von
und es ist
, insb. ist solch ein
nicht maximal.
Für
gilt daher umgekehrt
für jedes
, d. h.
ist eine Funktion
.
Da ferner stets
gilt, ist
eine Auswahlfunktion für
.