Beweisarchiv: Mengenlehre: Lemma von Zorn

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Beweisarchiv: Mengenlehre

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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn

Aus dem Auswahlaxiom folgt das Lemma von Zorn[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Die Axiome von ZFC

Behauptung[Bearbeiten]

Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette (d.h. jede total geordnete Teilmenge) eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.

Beweis[Bearbeiten]

Sei eine nichtleere durch eine Relation halbgeordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke hat. Sei die Menge aller Ketten in . Für jedes ist dann die Menge nicht leer.

Wir nehmen an, dass für kein gilt. Dann ist die Menge eine Menge nichtleerer Mengen und besitzt daher eine Auswahlfunktion . Für ist dann echt größer als jedes Element von . Dann haben wir eine Abbildung , die man sich durch für auf ganz fortgesetzt denken kann.

Durch transfinite Rekursion definiert eine Abbildung von der Klasse der Ordinalzahlen nach .

Behauptung:

Für zwei Ordinalzahlen gilt .

Beweis per Induktion: Sei Ordinalzahl und die Behauptung wahr für alle . Dann ist total geordnet, denn aus mit folgt ja oder , nach Induktionsvoraussetzung also oder . Dann folgt aber, dass echt größer als jedes Element von ist, das ist die Induktionsbehauptung.

Insbesondere ist die Abbildung injektiv. Auf der Menge gibt es daher eine (linksseitige) Umkehrabbildung , mit der wir die Menge erhalten. Es folgt dann jedoch im Widerspruch dazu, dass eine echte Klasse ist. Daher muss die obige Annahme falsch sein, d.h es gibt ein mit .

Behauptung:

Für solch ein ist jedes Element der Menge ein maximales Element von .

Ist nämlich mit , so ist auch obere Schranke von , wegen also . Aber dann auch , da obere Schranke ist. Folglich , d.h. ist maximal.

Da nicht leer ist, sind wir fertig.

Aus dem Lemma von Zorn folgt das Auswahlaxiom[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Die Axiome von ZF und der Satz:

Jede nichtleere halbgeordnete Menge, in der jede Kette eine obere Schranke hat, enthält mindestens ein maximales Element.

Behauptung[Bearbeiten]

Jede Menge nichtleerer Mengen hat eine Auswahlfunktion

Beweis[Bearbeiten]

Sei eine Menge nichtleerer Mengen.

Betrachte die Menge aller partiellen Auswahlfunktionen auf , d.h. die Menge der Funktionen mit und für alle . Mit anderen Worten ist

.

Wegen ist nicht leer. Die Menge ist durch Inklusion halbgeordnet. Ist eine Kette, so betrachte die Menge . Ist , und , so gibt es ein mit . Ebenso gibt es ein mit . Da Kette ist, gilt oder . Ist , so , , . Folglich und . Somit ist . Da aus sofort folgt, ist obere Schranke von . Nach dem Lemma von Zorn enthält also ein maximales Element .

Ist , und leer, so ist für jedes Element der nicht-leeren Menge die Menge ein Element von und es ist , insb. ist solch ein nicht maximal. Für gilt daher umgekehrt für jedes , d. h. ist eine Funktion . Da ferner stets gilt, ist eine Auswahlfunktion für .