Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren

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Faktoren einer injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildung

Voraussetzung

$f\colon A\to B$ und $g\colon B\to C$ seien Abbildungen.

Behauptung

Ist $g\circ f$ injektiv, dann ist $f\$ injektiv.
Ist $g\circ f$ surjektiv, dann ist $g\$ surjektiv.
Ist $g\circ f$ bijektiv, dann ist $f\$ injektiv und $g\$ surjektiv.

Beweis

Sei $h:=g\circ f$ injektiv, $x,y\in A$ und $f(x)=f(y)\$ . Wir müssen $x=y\$ zeigen.
Aus $f(x)=f(y)\$ folgt $g(f(x))=g(f(y))\$ , also $h(x)=h(y)\$ . Da $h\$ als injektiv vorausgesetzt ist, gilt $x=y\$ .
Sei $h:=g\circ f$ surjektiv und $c\in C$ . Wir müssen ein $b\in B$ mit $g(b)=c\$ finden.
Da $h\$ surjektiv ist, gibt es ein $a\in A$ mit $h(a)=c\$ . Setze $b:=f(a)\$ . Dann ist $g(b)=g(f(a))=h(a)=c\$ und wir sind fertig.
Dies folgt aus 1 und 2, da ja bijektiv $\Leftrightarrow$ injektiv und surjektiv.

Zerlegung einer Abbildung in eine Surjektion und eine Injektion

Voraussetzung

$f\colon A\to B$ sei eine beliebige Abbildung.

Behauptung

Es gibt eine Zerlegung $f=h\circ g$ , wobei $g\$ surjektiv und $h\$ injektiv ist.

Beweis 1

$C:=\operatorname {im} f$ sei die Bildmenge von $f\$ und $g\colon A\to C$ sei die Abbildung, die auf $A\$ mit $f\$ übereinstimmt, also $g(x):=f(x)\$ . Außerdem sei $h\colon C\hookrightarrow B$ die Inklusionsabbildung. Damit sind die Eigenschaften in der Behauptung erfüllt.

Beweis 2

Durch $x\sim y:\Longleftrightarrow f(x)=f(y)$ ist eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf der Menge $A\$ gegeben. $C\$ sei die Faktormenge $A/\sim$ (also die Menge der Äquivalenzklassen) und $g\colon A\to C,\ x\mapsto [x]$ sei die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet. $g\$ ist nach Definition surjektiv. $h\colon C\to B$ wird nun festgelegt durch $h([x]):=f(x)\$ . Diese Abbildung ist wohldefiniert und injektiv und erfüllt die verlangte Eigenschaft $f=h\circ g$ .