Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Faktoren einer injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildung[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

und seien Abbildungen.

Behauptung[Bearbeiten]

  1. Ist injektiv, dann ist injektiv.
  2. Ist surjektiv, dann ist surjektiv.
  3. Ist bijektiv, dann ist injektiv und surjektiv.

Beweis[Bearbeiten]

  1. Sei injektiv, und . Wir müssen zeigen.
    Aus folgt , also . Da als injektiv vorausgesetzt ist, gilt .
  2. Sei surjektiv und . Wir müssen ein mit finden.
    Da surjektiv ist, gibt es ein mit . Setze . Dann ist und wir sind fertig.
  3. Dies folgt aus 1 und 2, da ja bijektiv injektiv und surjektiv.

Zerlegung einer Abbildung in eine Surjektion und eine Injektion[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine beliebige Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

Es gibt eine Zerlegung , wobei surjektiv und injektiv ist.

Beweis 1[Bearbeiten]

sei die Bildmenge von und sei die Abbildung, die auf mit übereinstimmt, also . Außerdem sei die Inklusionsabbildung. Damit sind die Eigenschaften in der Behauptung erfüllt.

Beweis 2[Bearbeiten]

Durch ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge gegeben. sei die Faktormenge (also die Menge der Äquivalenzklassen) und sei die Abbildung, die jedem Element seine Äquivalenzklasse zuordnet. ist nach Definition surjektiv. wird nun festgelegt durch . Diese Abbildung ist wohldefiniert und injektiv und erfüllt die verlangte Eigenschaft .

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Äquivalenzrelation - Bijektivität - Bildmenge - Injektivität - Inklusionsabbildung - Komposition - Surjektivität - wohldefiniert


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