Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Bild und Urbild

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Wir zeigen grundlegende Rechenregeln für Bild und Urbild von Teilmengen einer Menge.

Bild

Durchschnitt

Voraussetzung

$(A_{i})_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $A$.

$B$ sei eine beliebige weitere Menge.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$

Beweis

Ist $y\in f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)$, so existiert ein $x\in \bigcap _{i\in I}A_{i}$ mit $f(x)=y$. Es gilt $x\in A_{i}$ für alle $i\in I$. Insbesondere ist $y=f(x)\in f(A_{i})$ für alle $i\in I$. Somit ist $y\in \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$.

$\Box$

Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion

$A=\{1,2\}$, $B=\{1\}$, $f(1)=1,f(2)=1$.

$I=\{1,2\}$, $A_{1}=\{1\}$, $A_{2}=\{2\}$.

Es gilt $A_{1}\cap A_{2}=\emptyset$ und folglich $f(A_{1}\cap A_{2})=\emptyset$.

Andererseits ist $f(A_{1})=\{1\}$ und $f(A_{2})=\{1\}$ und folglich $f(A_{1})\cap f(A_{2})=\{1\}$.

Durchschnitt für injektive Abbildungen

Voraussetzung

$(A_{i})_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $A$ mit $I\neq \emptyset$.

$B$ sei eine beliebige weitere Menge.

$f:A\to B$ sei eine injektive Abbildung.

Behauptung

$f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f(A_{i})$

Beweis

Die Inklusion "$\subseteq$" gilt im Allgemeinen, es genügt also, die Inklusion "$\supseteq$" zu zeigen.

Sei also $y\in \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$. Dann ist $y\in f(A_{i})$ für alle $i\in I$.

Es gibt für alle $i\in I$ ein $x_{i}\in A_{i}$ mit $f(x_{i})=y$.

Weil $f$ injektiv ist, folgt $x_{i}=x_{j}$ für je zwei $i,j\in I$.

Da $I\neq \emptyset$, gibt es folglich ein $x\in A$ mit $x\in A_{i}$ für alle $i\in I$ und $f(x)=y$.

Es folgt $x\in \bigcap _{i\in I}A_{i}$. Also ist $y\in f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)$, wie behauptet.

$\Box$

Leere Indexmenge

Ist $I=\emptyset$, so ist nach Konvention $\bigcap _{i\in I}A_{i}=A$ und $\bigcap _{i\in I}f(A_{i})=B$. Die behauptete Gleichheit reduziert sich in diesem Fall auf $f(A)=B$. Das aber ist äquivalent zu Surjektivität von $f$. Insbesondere gilt die Gleichheit in diesem Fall im Allgemeinen nicht.

Vereinigung

Voraussetzung

$(A_{i})_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $A$.

$B$ sei eine beliebige weitere Menge.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})$

Beweis

$y\in f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)$

$\Longleftrightarrow$ Es gibt ein $x\in \bigcup _{i\in I}A_{i}$ mit $f(x)=y$

$\Longleftrightarrow$ Es gibt ein $i\in I$ und ein $x\in A_{i}$ mit $f(x)=y$

$\Longleftrightarrow$ Es gibt ein $i\in I$ mit $y\in f(A_{i})$

$\Longleftrightarrow$ $y\in \bigcup _{i\in I}f(A_{i})$

$\Box$

Urbild

Durchschnitt

Voraussetzung

$(B_{i})_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $B$.

$A$ sei eine weitere beliebige Menge.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$

Beweis

$x\in f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)$

$\Longleftrightarrow$ $f(x)\in \bigcap _{i\in I}B_{i}$

$\Longleftrightarrow$ $f(x)\in B_{i}$ für alle $i\in I$

$\Longleftrightarrow$ $x\in f^{-1}(B_{i})$ für alle $i\in I$

$\Longleftrightarrow$ $x\in \bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$

$\Box$

Vereinigung

Voraussetzung

$(B_{i})_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $B$.

$A$ sei eine weitere beliebige Menge.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$

Beweis

$x\in f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)$

$\Longleftrightarrow$ $f(x)\in \bigcup _{i\in I}B_{i}$

$\Longleftrightarrow$ $f(x)\in B_{i}$ für mindestens ein $i\in I$

$\Longleftrightarrow$ $x\in f^{-1}(B_{i})$ für mindestens ein $i\in I$

$\Longleftrightarrow$ $x\in \bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})$

$\Box$

Differenz

Voraussetzung

Seien $A$ und $B$ beliebige Mengen und $B_{1},B_{2}\subseteq B$ beliebige Teilmengen.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

$f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})=f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})$

Beweis

$x\in f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})$

$\Longleftrightarrow$ $x\in f^{-1}(B_{1})$ und $x\notin f^{-1}(B_{2})$

$\Longleftrightarrow$ $f(x)\in B_{1}$ und $f(x)\notin B_{2}$

$\Longleftrightarrow$ $f(x)\in B_{1}\setminus B_{2}$

$\Longleftrightarrow$ $x\in f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})$

$\Box$