Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild

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Wir zeigen grundlegende Rechenregeln für Bild und Urbild von Teilmengen einer Menge.

Bild

Durchschnitt

Voraussetzung

$(A_{i})_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $A$ .

$B$ sei eine beliebige weitere Menge.

$f:A\to B$ sei eine Abbildung.

Behauptung

f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i})

Beweis

Ist $y\in f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)$ , so existiert ein $x\in \bigcap _{i\in I}A_{i}$ mit $f(x)=y$ . Es gilt $x\in A_{i}$ für alle $i\in I$ . Insbesondere ist $y=f(x)\in f(A_{i})$ für alle $i\in I$ . Somit ist $y\in \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$ .

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Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion

$A=\{1,2\}$ , $B=\{1\}$ , $f(1)=1,f(2)=1$ .

$I=\{1,2\}$ , $A_{1}=\{1\}$ , $A_{2}=\{2\}$ .

Es gilt $A_{1}\cap A_{2}=\emptyset$ und folglich $f(A_{1}\cap A_{2})=\emptyset$ .

Andererseits ist $f(A_{1})=\{1\}$ und $f(A_{2})=\{1\}$ und folglich $f(A_{1})\cap f(A_{2})=\{1\}$ .

Durchschnitt für injektive Abbildungen

Voraussetzung

$(A_{i})_{i\in I}$ sei eine Familie von Teilmengen einer Menge $A$ mit $I\neq \emptyset$ .

$B$ sei eine beliebige weitere Menge.

$f:A\to B$ sei eine injektive Abbildung.

Behauptung

f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f(A_{i})

Beweis

Die Inklusion " $\subseteq$ " gilt im Allgemeinen, es genügt also, die Inklusion " $\supseteq$ " zu zeigen.

Sei also $y\in \bigcap _{i\in I}f(A_{i})$ . Dann ist $y\in f(A_{i})$ für alle $i\in I$ .

Es gibt für alle $i\in I$ ein $x_{i}\in A_{i}$ mit $f(x_{i})=y$ .

Weil $f$ injektiv ist, folgt $x_{i}=x_{j}$ für je zwei $i,j\in I$ .

Da $I\neq \emptyset$ , gibt es folglich ein $x\in A$ mit $x\in A_{i}$ für alle $i\in I$ und $f(x)=y$ .

Es folgt $x\in \bigcap _{i\in I}A_{i}$ . Also ist $y\in f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)$ , wie behauptet.

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Leere Indexmenge

Ist $I=\emptyset$ , so ist nach Konvention $\bigcap _{i\in I}A_{i}=A$ und $\bigcap _{i\in I}f(A_{i})=B$ . Die behauptete Gleichheit reduziert sich in diesem Fall auf $f(A)=B$ . Das aber ist äquivalent zu Surjektivität von $f$ . Insbesondere gilt die Gleichheit in diesem Fall im Allgemeinen nicht.