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Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Bild und Urbild

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Beweisarchiv: Mengenlehre

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Wir zeigen grundlegende Rechenregeln für Bild und Urbild von Teilmengen einer Menge.

Durchschnitt

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Voraussetzung

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sei eine Familie von Teilmengen einer Menge .

sei eine beliebige weitere Menge.

sei eine Abbildung.

Behauptung

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Beweis

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Ist , so existiert ein mit . Es gilt für alle . Insbesondere ist für alle . Somit ist .

Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion

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, , .

, , .

Es gilt und folglich .

Andererseits ist und und folglich .

Durchschnitt für injektive Abbildungen

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Voraussetzung

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sei eine Familie von Teilmengen einer Menge mit .

sei eine beliebige weitere Menge.

sei eine injektive Abbildung.

Behauptung

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Beweis

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Die Inklusion "" gilt im Allgemeinen, es genügt also, die Inklusion "" zu zeigen.

Sei also . Dann ist für alle .

Es gibt für alle ein mit .

Weil injektiv ist, folgt für je zwei .

Da , gibt es folglich ein mit für alle und .

Es folgt . Also ist , wie behauptet.

Leere Indexmenge

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Ist , so ist nach Konvention und . Die behauptete Gleichheit reduziert sich in diesem Fall auf . Das aber ist äquivalent zu Surjektivität von . Insbesondere gilt die Gleichheit in diesem Fall im Allgemeinen nicht.

Vereinigung

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Voraussetzung

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sei eine Familie von Teilmengen einer Menge .

sei eine beliebige weitere Menge.

sei eine Abbildung.

Behauptung

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Beweis

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Es gibt ein mit
Es gibt ein und ein mit
Es gibt ein mit

Urbild

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Durchschnitt

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Voraussetzung

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sei eine Familie von Teilmengen einer Menge .

sei eine weitere beliebige Menge.

sei eine Abbildung.

Behauptung

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Beweis

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für alle
für alle

Vereinigung

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Voraussetzung

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sei eine Familie von Teilmengen einer Menge .

sei eine weitere beliebige Menge.

sei eine Abbildung.

Behauptung

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Beweis

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für mindestens ein
für mindestens ein

Differenz

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Voraussetzung

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Seien und beliebige Mengen und beliebige Teilmengen.

sei eine Abbildung.

Behauptung

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Beweis

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und
und