Beweisarchiv: Mengenlehre
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- Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
- Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
- Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild
- Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
- Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn
Wir zeigen grundlegende Rechenregeln für Bild und Urbild von Teilmengen einer Menge.
sei eine Familie von Teilmengen einer Menge
.
sei eine beliebige weitere Menge.
sei eine Abbildung.
![{\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)\subseteq \bigcap _{i\in I}f(A_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ac8d4f9baf3fd1eded77bbe9204397bc1f69649)
Ist
, so existiert ein
mit
. Es gilt
für alle
. Insbesondere ist
für alle
. Somit ist
.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion
[Bearbeiten]
,
,
.
,
,
.
Es gilt
und folglich
.
Andererseits ist
und
und folglich
.
Durchschnitt für injektive Abbildungen
[Bearbeiten]
sei eine Familie von Teilmengen einer Menge
mit
.
sei eine beliebige weitere Menge.
sei eine injektive Abbildung.
![{\displaystyle f\left(\bigcap _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f(A_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0d6268b635f1189ffa3cfc9a42e85a5ce0cec75)
Die Inklusion "
" gilt im Allgemeinen, es genügt also, die Inklusion "
" zu zeigen.
Sei also
. Dann ist
für alle
.
Es gibt für alle
ein
mit
.
Weil
injektiv ist, folgt
für je zwei
.
Da
, gibt es folglich ein
mit
für alle
und
.
Es folgt
. Also ist
, wie behauptet.
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Ist
, so ist nach Konvention
und
. Die behauptete Gleichheit reduziert sich in diesem Fall auf
. Das aber ist äquivalent zu Surjektivität von
. Insbesondere gilt die Gleichheit in diesem Fall im Allgemeinen nicht.
sei eine Familie von Teilmengen einer Menge
.
sei eine beliebige weitere Menge.
sei eine Abbildung.
![{\displaystyle f\left(\bigcup _{i\in I}A_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f(A_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187a0896fe218fa7b0a0a9d3c0a13b2317dc898a)
Es gibt ein
mit ![{\displaystyle f(x)=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5080a8b0a963407ea74ffa50702563771518d1)
Es gibt ein
und ein
mit ![{\displaystyle f(x)=y}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a5080a8b0a963407ea74ffa50702563771518d1)
Es gibt ein
mit ![{\displaystyle y\in f(A_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaeaf9122a33bbf6a864c02271a8f88c1beaf04d)
![{\displaystyle y\in \bigcup _{i\in I}f(A_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc9fae626d1c033fa7825496cf734bb73040b254)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
sei eine Familie von Teilmengen einer Menge
.
sei eine weitere beliebige Menge.
sei eine Abbildung.
![{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcap _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd106276584c31c2f4279ccdc399b03d3f04b0d)
![{\displaystyle f(x)\in \bigcap _{i\in I}B_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f420cd7c3fcefbc3da007d56c1fd392d55779f9c)
für alle ![{\displaystyle i\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d740fe587228ce31b71c9628e089d1a9b37c6be)
für alle ![{\displaystyle i\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d740fe587228ce31b71c9628e089d1a9b37c6be)
![{\displaystyle x\in \bigcap _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cfca2c840f78230b12d9ec0f24c4e69904c8b80)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
sei eine Familie von Teilmengen einer Menge
.
sei eine weitere beliebige Menge.
sei eine Abbildung.
![{\displaystyle f^{-1}\left(\bigcup _{i\in I}B_{i}\right)=\bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/444ccbe1ce38d9517eb1f1b72877c7cfe30f0e89)
![{\displaystyle f(x)\in \bigcup _{i\in I}B_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bc746f264648e1e807c868cd69316e8b4adb938)
für mindestens ein ![{\displaystyle i\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d740fe587228ce31b71c9628e089d1a9b37c6be)
für mindestens ein ![{\displaystyle i\in I}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d740fe587228ce31b71c9628e089d1a9b37c6be)
![{\displaystyle x\in \bigcup _{i\in I}f^{-1}(B_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a6b746287b31fc7a83d8a37f9ef67363a512b21)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)
Seien
und
beliebige Mengen und
beliebige Teilmengen.
sei eine Abbildung.
![{\displaystyle f^{-1}(B_{1})\setminus f^{-1}(B_{2})=f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e668305d07abf3b6cbce7307599bf864ddfa4e6)
und ![{\displaystyle x\notin f^{-1}(B_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c04dfc593c8b78d195d2bdd3db9593ffd43bc0f)
und ![{\displaystyle f(x)\notin B_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ddf62a749b7a58ee670f87087f93a7ef088ae91d)
![{\displaystyle f(x)\in B_{1}\setminus B_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/877cbe5224fda99cee5830addcd7c6897f3e7605)
![{\displaystyle x\in f^{-1}(B_{1}\setminus B_{2})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24df27d9e34db5b728211007999c7c17c76a6083)
![{\displaystyle \Box }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/029b77f09ebeaf7528fc831fe57848be51f2240b)