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Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Bild und Urbild

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Beweisarchiv: Mengenlehre

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Wir zeigen grundlegende Rechenregeln für Bild und Urbild von Teilmengen einer Menge.

Bild[Bearbeiten]

Durchschnitt[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine Familie von Teilmengen einer Menge .

sei eine beliebige weitere Menge.

sei eine Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Ist , so existiert ein mit . Es gilt für alle . Insbesondere ist für alle . Somit ist .

Gegenbeispiel für die umgekehrte Inklusion[Bearbeiten]

, , .

, , .

Es gilt und folglich .

Andererseits ist und und folglich .

Durchschnitt für injektive Abbildungen[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine Familie von Teilmengen einer Menge mit .

sei eine beliebige weitere Menge.

sei eine injektive Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Die Inklusion "" gilt im Allgemeinen, es genügt also, die Inklusion "" zu zeigen.

Sei also . Dann ist für alle .

Es gibt für alle ein mit .

Weil injektiv ist, folgt für je zwei .

Da , gibt es folglich ein mit für alle und .

Es folgt . Also ist , wie behauptet.

Leere Indexmenge[Bearbeiten]

Ist , so ist nach Konvention und . Die behauptete Gleichheit reduziert sich in diesem Fall auf . Das aber ist äquivalent zu Surjektivität von . Insbesondere gilt die Gleichheit in diesem Fall im Allgemeinen nicht.

Vereinigung[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine Familie von Teilmengen einer Menge .

sei eine beliebige weitere Menge.

sei eine Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Es gibt ein mit
Es gibt ein und ein mit
Es gibt ein mit

Urbild[Bearbeiten]

Durchschnitt[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine Familie von Teilmengen einer Menge .

sei eine weitere beliebige Menge.

sei eine Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

für alle
für alle

Vereinigung[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine Familie von Teilmengen einer Menge .

sei eine weitere beliebige Menge.

sei eine Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

für mindestens ein
für mindestens ein

Differenz[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Seien und beliebige Mengen und beliebige Teilmengen.

sei eine Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

und
und