Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Komposition

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Komposition von injektiven, surjektiven oder bijektiven Abbildungen[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

und seien Abbildungen.

Behauptung[Bearbeiten]

  1. Sind und injektiv, dann auch .
  2. Sind und surjektiv, dann auch .
  3. Sind und bijektiv, dann auch .

Beweis[Bearbeiten]

  1. Seien und als injektiv vorausgesetzt und . Weiter seien mit . Wir müssen zeigen.
    Nach Definition von gilt . Da injektiv ist, folgt . Da injektiv ist, folgt .
  2. Seien und als surjektiv vorausgesetzt und . Weiter sei ein Element vorgegeben. Wir müssen ein mit finden.
    Da surjektiv ist, gibt es ein Element mit . Da surjektiv ist, gibt es ein Element mit . Zusammen haben wir wie verlangt.
  3. Dies folgt aus 1 und 2, da ja bijektiv injektiv surjektiv.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Bijektivität - Injektivität - Komposition - Surjektivität


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