Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Durchschnitt

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Satz[Bearbeiten]

Ist eine nichtleere Menge von Ordinalzahlen, so ist . Ferner ist Element jedes anderen Elementes von .

Insbesondere also: Sind und zwei Ordinalzahlen, so stimmt mit oder überein.

Beweis[Bearbeiten]

Sei eine nichtleere Menge von Ordinalzahlen und .

Gezeigt wird zunächst, dass transitiv ist. In der Tat folgt aus , dass für alle . Da jedes transitiv ist, folgt für jedes , also – der Durchschnitt transitiver Mengen ist transitiv.

Sei mit . Zu zeigen ist, dass . Wegen und ist nicht leer und enthält somit ein -minimales Element . Insbesondere ist . Sei ein beliebiges Element von . Als Elemente von sind und vergleichbar. Wegen führt sofort und per Transitivität von auf im Widerspruch zu . Daher muss gelten und somit . Wegen der Minimalität von gibt es kein mit . Wegen folgt somit aus stets , also . Mithin und schließlich . Damit ist die zweite Teilaussage gezeigt.

Zu zeigen ist noch . Da nicht leer ist, sei ein beliebiges Element von . Falls , sind wir fertig. Ansonsten folgt nach dem eben Gezeigten . Wegen der Ordnungstrichotomie auf der Ordinalzahl folgt dann . Folglich gibt es ein mit . Da aus aber folgen würde, muss gelten und somit .

Die Spezialfall über folgt sofort aus .