Beweisarchiv: Mengenlehre: Ordinalzahlen: Vereinigung

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Beweisarchiv: Mengenlehre

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Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
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Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Satz[Bearbeiten]

Ist eine Menge von Ordinalzahlen, so ist eine Ordinalzahl.

Beweis[Bearbeiten]

Verwendet wird

(1) Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen
(2) Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen

Sei eine Menge von Ordinalzahlen und . Aus folgt für eine Ordinalzahl . Dann ist auch , also auch . Mithin ist transitiv. Jedes Element von ist Element einer in liegenden Ordinalzahl und daher laut (1) wiederum eine Ordinalzahl. Als Menge von Ordinalzahlen ist laut (2) durch wohlgeordnet. Folglich ist eine Ordinalzahl.