Beweisarchiv: Mengenlehre: Injektivität Surjektivität Bijektivität: Rechtskürzbarkeit

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Surjektivität und Rechtskürzbarkeit[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

sei eine Abbildung.

Behauptung[Bearbeiten]

ist surjektiv ist rechtskürzbar.

(Dabei heißt rechtskürzbar, wenn für beliebige Abbildungen aus schon folgt.)

Beweis[Bearbeiten]

  •  : werde als surjektiv vorausgesetzt und seien beliebige Abbildungen mit . Wir müssen zeigen.
    Dazu sei beliebig. Da surjektiv ist, gibt es (mindestens) ein Element mit . Wegen gilt , also . Damit ist bewiesen.
  •  : werde als rechtskürzbar vorausgesetzt. Nun sei ein beliebiges Element gegeben. Wir nehmen an, dass nicht in der Bildmenge von liegt und werden diese Annahme zum Widerspruch führen
    Dazu werden zwei Abbildungen folgendermaßen definiert:
    ,
    für und .
    Da ja nicht im Bild von liegt, gilt . Aus der Rechtskürzbarkeit von folgt , was aber nicht stimmt. Also war die Annahme, dass nicht im Bild von liegt falsch, und ist als surjektiv nachgewiesen.

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

Bildmenge - Komposition - Surjektivität


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