Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Distributivgesetz

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Durchschnitt über Vereinigung[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

seien beliebige Mengen.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

  •  : x sei ein Element der linken Seite, also . Dann gilt und . Da x in der Vereinigung von B und C liegt, ist (Fall 1) oder (Fall 2) . Im Fall 1 ist , im Fall 2 ist . Damit liegt x in der Vereinigung , ist also Element der rechten Seite.
  •  : x sei ein Element der rechten Seite, also . Damit gilt (Fall 1) oder (Fall 2) . In beiden Fällen haben wir . Außerdem ist oder , zusammengefasst also . Nach Definition des Durchschnitts liegt x in , ist also Element der linken Seite.

Alternativ: Es gilt

und

Die Behauptung folgt daher aus der Distributivität von über , d.h. der allgemeinen Äquivalenz von und .

Durchschnitt über beliebige Vereinigung[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Sei eine Menge, eine (Index-)Menge und zu jedem sei eine Menge.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Element der linken Menge zu sein ist für jedes äquivalent zu , für die rechte dagegen zu . Aber auf prädikatenlogischer Ebene gilt bereits die allgemeine Äquivalenz von mit - hier mit für und für :

  • Aus folgt sowohl als auch , aus letzterem für ein geeignetes . Zusammen mit folgt für dieses dann , insbesondere .
  • Aus folgt - für geeignetes - die Gültigkeit von , also sowohl als auch . Folglich gilt für dieses , d.h. , zusammen mit also .

Bemerkung[Bearbeiten]

Der vorhergehende Satz kann auch als Spezialfall dieses Satzes für den Fall einer zweielementigen Indexmenge angesehen werden.

Vereinigung über Durchschnitt[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

seien beliebige Mengen.

Behauptung[Bearbeiten]

  

Beweis[Bearbeiten]

Hier folgt die Gleichheit aus der allgemeinen Äquivalenz von und

Vereinigung über beliebigen Durchschnitt[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

Sei eine Menge, eine (Index-)Menge und zu jedem sei eine Menge.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Hier folgt die Aussage aus der allgemeinen Äquivalenz von und - hier mit für sowie : für q

  • Angenommen, ist wahr. Dann ist sowohl wahr als auch für jedes , also .
  • Angenommen, ist falsch.
    • Gilt , so folgt . Sei beliebig. Dann folgt hieraus und erst recht . Da beliebig war, folgt .
    • Gilt und ist beliebig, so folgt , nach Voraussetzung sogar . Da beliebig war, folgt und erst recht .

Bemerkung[Bearbeiten]

Der vorhergehende Satz läßt sich wieder als Spezialfall hiervon mit zweielementiger Indexmenge auffassen.

Durchschnitt über Symmetrische Differenz[Bearbeiten]

Voraussetzung[Bearbeiten]

seien beliebige Mengen.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Die Behauptung folgt aus der aussagenlogischen Äquivalenz von und .

Wikipedia-Verweise[Bearbeiten]

charakteristische Funktion - De Morgansche Gesetze - Distributivgesetz - Restklassenring - Schnittmenge - symmetrische Differenz - Teilmenge - Vereinigungsmenge


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Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn