Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Distributivgesetz
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Durchschnitt über Vereinigung
[Bearbeiten]Voraussetzung
[Bearbeiten]seien beliebige Mengen.
Behauptung
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Beweis
[Bearbeiten]- : x sei ein Element der linken Seite, also . Dann gilt und . Da x in der Vereinigung von B und C liegt, ist (Fall 1) oder (Fall 2) . Im Fall 1 ist , im Fall 2 ist . Damit liegt x in der Vereinigung , ist also Element der rechten Seite.
- : x sei ein Element der rechten Seite, also . Damit gilt (Fall 1) oder (Fall 2) . In beiden Fällen haben wir . Außerdem ist oder , zusammengefasst also . Nach Definition des Durchschnitts liegt x in , ist also Element der linken Seite.
Alternativ: Es gilt
und
Die Behauptung folgt daher aus der Distributivität von über , d.h. der allgemeinen Äquivalenz von und .
Durchschnitt über beliebige Vereinigung
[Bearbeiten]Voraussetzung
[Bearbeiten]Sei eine Menge, eine (Index-)Menge und zu jedem sei eine Menge.
Behauptung
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Beweis
[Bearbeiten]Element der linken Menge zu sein ist für jedes äquivalent zu , für die rechte dagegen zu . Aber auf prädikatenlogischer Ebene gilt bereits die allgemeine Äquivalenz von mit - hier mit für und für :
- Aus folgt sowohl als auch , aus letzterem für ein geeignetes . Zusammen mit folgt für dieses dann , insbesondere .
- Aus folgt - für geeignetes - die Gültigkeit von , also sowohl als auch . Folglich gilt für dieses , d.h. , zusammen mit also .
Bemerkung
[Bearbeiten]Der vorhergehende Satz kann auch als Spezialfall dieses Satzes für den Fall einer zweielementigen Indexmenge angesehen werden.
Vereinigung über Durchschnitt
[Bearbeiten]Voraussetzung
[Bearbeiten]seien beliebige Mengen.
Behauptung
[Bearbeiten]Beweis
[Bearbeiten]Hier folgt die Gleichheit aus der allgemeinen Äquivalenz von und
Vereinigung über beliebigen Durchschnitt
[Bearbeiten]Voraussetzung
[Bearbeiten]Sei eine Menge, eine (Index-)Menge und zu jedem sei eine Menge.
Behauptung
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Beweis
[Bearbeiten]Hier folgt die Aussage aus der allgemeinen Äquivalenz von und - hier mit für sowie : für q
- Angenommen, ist wahr. Dann ist sowohl wahr als auch für jedes , also .
- Angenommen, ist falsch.
- Gilt , so folgt . Sei beliebig. Dann folgt hieraus und erst recht . Da beliebig war, folgt .
- Gilt und ist beliebig, so folgt , nach Voraussetzung sogar . Da beliebig war, folgt und erst recht .
Bemerkung
[Bearbeiten]Der vorhergehende Satz läßt sich wieder als Spezialfall hiervon mit zweielementiger Indexmenge auffassen.
Durchschnitt über Symmetrische Differenz
[Bearbeiten]Voraussetzung
[Bearbeiten]seien beliebige Mengen.
Behauptung
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Beweis
[Bearbeiten]Die Behauptung folgt aus der aussagenlogischen Äquivalenz von und .
Wikipedia-Verweise
[Bearbeiten]charakteristische Funktion - De Morgansche Gesetze - Distributivgesetz - Restklassenring - Schnittmenge - symmetrische Differenz - Teilmenge - Vereinigungsmenge
- Charakteristikum unendlicher Mengen
- Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
- Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
- Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
- Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
- Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen · Bild und Urbild
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