Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Differenzgesetz

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Charakteristikum unendlicher Mengen
Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren · Komposition · Linksinverse · Linkskürzbarkeit · Rechtsinverse · Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung · Kardinalität und Bijektionen · Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze · Distributivgesetze · Differenzgesetze · Grundeigenschaften der Inklusion · De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element · Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen · Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse · Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl · Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen · Limes- und Nachfolgerzahlen · Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms · Wohlordnungssatz · Lemma von Zorn


Durchschnitt mit Differenz[Bearbeiten]

Dieser Beweis kommt aus dem Bereich der Datenbanken und soll zeigen, dass jeder Durchschnitt (INTERSECT) auch mit dem Subtrahieren (MINUS) von Mengen abgebildet werden kann.

Voraussetzung[Bearbeiten]

seien beliebige Mengen.

Behauptung[Bearbeiten]

Beweis[Bearbeiten]

Es ist genau dann, wenn , also gilt weiter genau dann, wenn . Es ist zu zeigen, dass dies äquivalent zu ist. In der Tat gilt bereits im Rahmen der Aussagenlogik die Äquivalenz von und :

  • Es gelte , insbesondere sowohl als auch . Somit ist falsch und sowie schließlich wahr.
  • Es gelte , insbesondere und . Letzteres ist nach De Morgan äquivalent zu . Wegen folgt bzw (doppelte Negation). Insgesamt ergibt sich also .