Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Differenzgesetz

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Durchschnitt mit Differenz

Dieser Beweis kommt aus dem Bereich der Datenbanken und soll zeigen, dass jeder Durchschnitt (INTERSECT) auch mit dem Subtrahieren (MINUS) von Mengen abgebildet werden kann.

Voraussetzung

$A,\ B$ seien beliebige Mengen.

Behauptung

$A\cap B=A\setminus (A\setminus B)$

Beweis

Es ist $x\in A\setminus B$ genau dann, wenn $x\in A\land \neg (x\in B)$ , also gilt weiter $x\in A\setminus (A\setminus B)$ genau dann, wenn $x\in A\land \neg (x\in A\land \neg (x\in B))$ . Es ist zu zeigen, dass dies äquivalent zu $x\in A\land x\in B$ ist. In der Tat gilt bereits im Rahmen der Aussagenlogik die Äquivalenz von $p\land \neg (p\land \neg q)$ und $p\land q$ :

Es gelte $p\land q$ , insbesondere sowohl $p$ als auch $q$ . Somit ist $p\land \neg q$ falsch und $\neg (p\land \neg q)$ sowie schließlich $p\land \neg (p\land \neg q)$ wahr.
Es gelte $p\land \neg (p\land \neg q)$ , insbesondere $p$ und $\neg (p\land \neg q)$ . Letzteres ist nach De Morgan äquivalent zu $\neg p\lor \neg \neg q$ . Wegen $p$ folgt $\neg \neg q$ bzw $q$ (doppelte Negation). Insgesamt ergibt sich also $p\land q$ .