Beweisarchiv: Mengenlehre: Mengenoperation: Grundeigenschaften der Inklusion

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Beweisarchiv: Mengenlehre

Injektivität Surjektivität Bijektivität: Faktoren - Komposition - Linksinverse - Linkskürzbarkeit - Rechtsinverse - Rechtskürzbarkeit
Verkettungen: Assoziativgesetz der Hintereinanderausführung
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen): lineare Ordnung - Kardinalität und Bijektionen - Potenzmenge
Deskriptive Mengenlehre: Satz von Young
Rechenregeln für Mengenoperationen: Assoziativgesetze - Distributivgesetze - Differenzgesetze - Grundeigenschaften der Inklusion - De Morgansche Regeln für Mengen
Ordinalzahlen: Ordinalzahlen enthalten sich nicht selbst als Element - Elemente von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Durchschnitte von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Wohlordnung der Klasse aller Ordinalzahlen - Ordinalzahlen bilden eine echte Klasse - Der Nachfolger einer Ordinalzahl ist Ordinalzahl - Vereinigungen von Ordinalzahlen sind Ordinalzahlen - Limes- und Nachfolgerzahlen - Äquivalenz verschiedener Definitionen
Sätze die in ZF Äquivalent zum Auswahlaxiom sind: Alternative Darstellung des Auswahlaxioms - Wohlordnungssatz - Lemma von Zorn


Definition: „Inklusion“ bedeutet Teilmengenbeziehung.

(a) Die Inklusion ist transitiv, d. h. sind und , so ist auch .
(b) Es ist .
(c) Genau dann ist , wenn und gelten.

Beweis[Bearbeiten]

(a) Alle Elemente von sind Elemente von und alle Elemente von sind Elemente von . Dies zeigt, dass auch alle Elemente von Elemente von sind.
(b) Für alle Elemente gilt und , somit ist eine Teilmenge von . Außerdem ist jedes Element von auch ein Element von und wir haben .
(c) Zu beweisen ist die Äquivalenz .
"": Dies ist klar.
"": heißt, dass alle Elemente von A auch in B sind und heißt, dass alle Elemente von B auch in A sind. Somit haben und die gleichen Elemente und wir haben .