Formelsammlung Mathematik: Kurvendiskussion

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Symmetrie

Achsensymmetrie

Definition. Achsensymmetrie.

Eine Funktion $f$ ist achsensymmetrisch zur Achse $\{(a|y)\mid y\in \mathbb {R} \}$, wenn

$f(a-x)=f(a+x)$

oder äquivalent

$f(x)=f(2a-x)$

für alle $x$ gilt.

Speziell für $a=0$ lautet das Kriterium:

$f(-x)=f(x)$

für alle $x$.

Jede Polynomfunktion, deren Monome nur geraden Grad haben, ist achsensymmetrisch.

Punktsymmetrie

Definition. Punktsymmetrie.

Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt $(a|b)$, wenn

$f(a-x)-b=-f(a+x)+b$

oder äquivalent

$f(x)=2b-f(2a-x)$

für alle $x$ gilt.

Speziell für den Punkt $(0|0)$ lautet das Kriterium:

$f(-x)=-f(x)$

für alle $x$.

Jede Polynomfunktion, deren Monome nur ungeraden Grad haben, ist punktsymmetrisch.

Periodizität

Definition. Periodische Funktion.

Eine Funktion heißt periodisch mit Periodenlänge $P\neq 0$, wenn

$f(x+P)=f(x)$

für alle $x$ gilt.

Nullstellen

Definition. Nullstelle.

Sei $f\colon D\to \mathbb {R}$ eine Funktion. Eine Stelle a mit $f(a)=0$ heißt Nullstelle von $f$.

Eine differenzierbare Funktion ist auch stetig. Der Nullstellensatz stellt dann die Existenz von Nullstellen sicher.

Ist eine Funktion auf einem Intervall streng monoton, dann besitzt sie dort höchstens eine Nullstelle.

Beschränktheit

Definition. Beschränkte Funktion, Schranke.

Eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ heißt nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke $s_{u}$ gibt, so dass $f(x)\geq s_{u}$ für alle x ∈ D ist.

Die Funktion heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke $s_{o}$ gibt, so dass $f(x)\leq s_{o}$ für alle x ∈ D ist.

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sich nach unten und nach oben beschränkt ist.

Definition. Infimum, Supremum.

Die größte untere Schranke einer nach unten beschränkten Funktion heißt Infimum der Funktion.

Die kleinste obere Schranke einer nach oben beschränkten Funktion heißt Supremum der Funktion.

Bei einer beschränkten Funktion lässt sich ein $r$ finden, das $|f(x)|\leq r$ für alle x ∈ D erfüllt.

Kriterium

Laut Extremwertsatz ist jede stetige Funktion $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ auch beschränkt.

Monotonie

Definition. Monotonie, strenge Monotonie.

Eine Funktion $f\colon D\to \mathbb {R}$ mit $D\subseteq \mathbb {R}$ heißt

• monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\leq y$ gilt: $f(x)\leq f(y)$,
• monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x\leq y$ gilt: $f(x)\geq f(y)$,
• streng monoton steigend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x<y$ gilt: $f(x)<f(y)$,
• streng monoton fallend, wenn für alle $x,y\in D$ mit $x<y$ gilt: $f(x)>f(y)$.

Monotoniekriterium

Sei $I$ ein offenes Intervall und sei $f\colon I\to \mathbb {R}$ differenzierbar auf ganz $I$.

Die Funktion $f$ ist

• monoton steigend, wenn für alle $x\in I$ gilt: $f'(x)\geq 0$,
• monoton fallend, wenn für alle $x\in I$ gilt: $f'(x)\leq 0$,
• streng monoton steigend, wenn für alle $x\in I$ gilt: $f'(x)>0$,
• streng monoton fallend, wenn für alle $x\in I$ gilt: $f'(x)<0$.

Bemerkung: Bei einem offenen Intervall kann es sich auch um $I=\mathbb {R}$ oder $I=(a,\infty )$ handeln.

Extremwerte

Definition. Lokales Minimum.

Eine Funktion nimmt an einer Stelle a ein lokales Minimum an, wenn

$\forall x\in U(a)\colon \;f(x)\geq f(a)$

gilt, wobei U(a) eine offene Umgebung von a ist.

Definition. Lokales Maximum.

Kriterium für ein lokales Maximum:

$\forall x\in U(a)\colon \;f(x)\leq f(a).$

Definition. Strenges lokales Mininum.

Kriterium für ein strenges lokales Minimum:

$\forall x\in U(a)\setminus \{a\}\colon \;f(x)>f(a).$

Definition. Strenges lokales Maximum.

Kriterium für ein strenges lokales Maximum:

$\forall x\in U(a)\setminus \{a\}\colon \;f(x)<f(a).$

Notwendiges Kriterium

Sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung von $a$ definierte und bei $a$ differenzierbare Funktion.

Ist $f(a)$ ein lokaler Extremwert, so muss $f'(a)=0$ sein.

Kontraposition:

Ist $f'(a)\neq 0$, so kann $f(a)$ kein lokaler Extremwert sein.

Hinreichendes Kriterium A

Sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung von $a$ differenzierbare Funktion.

Ist $f'(a)=0$ und besitzt $f'(x)$ bei $a$ einen Vorzeichenwechsel, so muss $f(a)$ ein lokaler Extremwert sein.

Unter einem Vorzeichenwechsel versteht man

bei einem lokalen Maximum: für alle $x<a$ ist $f'(x)>0$ und für alle $x>a$ ist $f'(x)<0,$

bei einem lokalen Minimum: für alle $x<a$ ist $f'(x)<0$ und für alle $x>a$ ist $f'(x)>0.$

Hinreichendes Kriterium B

Sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung von a definierte und bei a zweimal differenzierbare Funktion.

Ist $f'(a)=0$ und $f''(a)<0$, so ist $f(a)$ ein lokales Maximum.

Ist $f'(a)=0$ und $f''(a)>0$, so ist $f(a)$ ein lokales Minimum.

Wendepunkte

Definition. Rechts-Links-Wendestelle.

Sei $f$ eine differenzierbare Funktion. Eine Stelle a heißt Rechts-Links-Wendestelle, wenn $f'$ bei a ein strenges lokales Minimum besitzt.

Definition. Links-Rechts-Wendestelle.

Sei $f$ eine differenzierbare Funktion. Eine Stelle a heißt Links-Rechts-Wendestelle, wenn $f'$ bei a ein strenges lokales Maximum besitzt.

Der Punkt $(a|f(a))$ heißt Wendepunkt, wenn a eine Wendestelle ist.

Notwendiges Kriterium

Sei $f$ bei a zweimal differenzierbar.

Ist a eine Wendestelle, dann ist $f''(a)=0$.

Hinreichendes Kriterium A

Sei $f$ bei a dreimal differenzierbar.

Ist $f''(a)=0$ und $f'''(a)\neq 0$, dann ist a eine Wendestelle.

Hinreichendes Kriterium B

Sei $f$ eine auf einer offenen Umgebung von a definierte Funktion, die an allen Stellen x≠a zweimal differenzierbar ist. Die Stelle a ist eine Wendestelle, wenn die zweite Ableitung beim Durchgang durch a ihr Vorzeichen wechselt. D. h., auf einer kleinen Umgebung von a gilt entweder

$f''(x)<0$ für $x<a$ und $f''(x)>0$ für $x>a$

oder

$f''(x)>0$ für $x<a$ und $f''(x)<0$ für $x>a.$