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Formelsammlung Mathematik: Kurvendiskussion

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Formelsammlung Mathematik

Symmetrie[Bearbeiten]

Achsensymmetrie[Bearbeiten]

Definition. Achsensymmetrie.

Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur Achse , wenn

oder äquivalent

für alle gilt.

Speziell für lautet das Kriterium:

für alle .

Jede Polynomfunktion, deren Monome nur geraden Grad haben, ist achsensymmetrisch.

Punktsymmetrie[Bearbeiten]

Definition. Punktsymmetrie.

Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Punkt , wenn

oder äquivalent

für alle gilt.

Speziell für den Punkt lautet das Kriterium:

für alle .

Jede Polynomfunktion, deren Monome nur ungeraden Grad haben, ist punktsymmetrisch.

Periodizität[Bearbeiten]

Definition. Periodische Funktion.

Eine Funktion heißt periodisch mit Periodenlänge , wenn

für alle gilt.

Nullstellen[Bearbeiten]

Definition. Nullstelle.

Sei eine Funktion. Eine Stelle a mit heißt Nullstelle von .

Eine differenzierbare Funktion ist auch stetig. Der Nullstellensatz stellt dann die Existenz von Nullstellen sicher.

Ist eine Funktion auf einem Intervall streng monoton, dann besitzt sie dort höchstens eine Nullstelle.

Beschränktheit[Bearbeiten]

Definition. Beschränkte Funktion, Schranke.

Eine Funktion heißt nach unten beschränkt, wenn es eine untere Schranke gibt, so dass für alle x ∈ D ist.

Die Funktion heißt nach oben beschränkt, wenn es eine obere Schranke gibt, so dass für alle x ∈ D ist.

Eine Funktion heißt beschränkt, wenn sich nach unten und nach oben beschränkt ist.

Definition. Infimum, Supremum.

Die größte untere Schranke einer nach unten beschränkten Funktion heißt Infimum der Funktion.

Die kleinste obere Schranke einer nach oben beschränkten Funktion heißt Supremum der Funktion.

Bei einer beschränkten Funktion lässt sich ein finden, das für alle x ∈ D erfüllt.

Kriterium[Bearbeiten]

Laut Extremwertsatz ist jede stetige Funktion auch beschränkt.

Monotonie[Bearbeiten]

Definition. Monotonie, strenge Monotonie.

Eine Funktion mit heißt

  • monoton steigend, wenn für alle mit gilt: ,
  • monoton fallend, wenn für alle mit gilt: ,
  • streng monoton steigend, wenn für alle mit gilt: ,
  • streng monoton fallend, wenn für alle mit gilt: .

Monotoniekriterium[Bearbeiten]

Sei ein offenes Intervall und sei differenzierbar auf ganz .

Die Funktion ist

  • monoton steigend, wenn für alle gilt: ,
  • monoton fallend, wenn für alle gilt: ,
  • streng monoton steigend, wenn für alle gilt: ,
  • streng monoton fallend, wenn für alle gilt: .

Bemerkung: Bei einem offenen Intervall kann es sich auch um oder handeln.

Extremwerte[Bearbeiten]

Definition. Lokales Minimum.

Eine Funktion nimmt an einer Stelle a ein lokales Minimum an, wenn

gilt, wobei U(a) eine offene Umgebung von a ist.


Definition. Lokales Maximum.

Kriterium für ein lokales Maximum:


Definition. Strenges lokales Mininum.

Kriterium für ein strenges lokales Minimum:


Definition. Strenges lokales Maximum.

Kriterium für ein strenges lokales Maximum:

Notwendiges Kriterium[Bearbeiten]

Sei eine auf einer offenen Umgebung von definierte und bei differenzierbare Funktion.

Ist ein lokaler Extremwert, so muss sein.

Kontraposition:

Ist , so kann kein lokaler Extremwert sein.

Hinreichendes Kriterium A[Bearbeiten]

Sei eine auf einer offenen Umgebung von differenzierbare Funktion.

Ist und besitzt bei einen Vorzeichenwechsel, so muss ein lokaler Extremwert sein.

Unter einem Vorzeichenwechsel versteht man

bei einem lokalen Maximum: für alle ist und für alle ist
bei einem lokalen Minimum: für alle ist und für alle ist

Hinreichendes Kriterium B[Bearbeiten]

Sei eine auf einer offenen Umgebung von a definierte und bei a zweimal differenzierbare Funktion.

Ist und , so ist ein lokales Maximum.
Ist und , so ist ein lokales Minimum.

Wendepunkte[Bearbeiten]

Definition. Rechts-Links-Wendestelle.

Sei eine differenzierbare Funktion. Eine Stelle a heißt Rechts-Links-Wendestelle, wenn bei a ein strenges lokales Minimum besitzt.

Definition. Links-Rechts-Wendestelle.

Sei eine differenzierbare Funktion. Eine Stelle a heißt Links-Rechts-Wendestelle, wenn bei a ein strenges lokales Maximum besitzt.

Der Punkt heißt Wendepunkt, wenn a eine Wendestelle ist.

Notwendiges Kriterium[Bearbeiten]

Sei bei a zweimal differenzierbar.

Ist a eine Wendestelle, dann ist .

Hinreichendes Kriterium A[Bearbeiten]

Sei bei a dreimal differenzierbar.

Ist und , dann ist a eine Wendestelle.

Hinreichendes Kriterium B[Bearbeiten]

Sei eine auf einer offenen Umgebung von a definierte Funktion, die an allen Stellen xa zweimal differenzierbar ist. Die Stelle a ist eine Wendestelle, wenn die zweite Ableitung beim Durchgang durch a ihr Vorzeichen wechselt. D. h., auf einer kleinen Umgebung von a gilt entweder

für und für

oder

für und für