Formelsammlung Mathematik: Mengenlehre

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Formelsammlung Mathematik
Mächtigkeiten

Definitionen[Bearbeiten]

Aufzählende Angabe
Beschreibende Angabe, unbeschränkt
Beschreibende Angabe, beschränkt
Beschreibende Angabe, Kurzschreibweise für Bildmengen
Teilmenge
Gleichheit
Vereinigungsmenge
Schnittmenge
Differenzmenge (relatives Komplement)
Komplementärmenge
: Grundmenge
Symmetrische Differenz
Kartesisches Produkt
Potenzmenge
Disjunkte Vereinigung

Boolesche Algebra[Bearbeiten]

Schnitt Vereinigung
Kommutativgesetze
Assoziativgesetze
Idempotenzgesetze
Neutralitätsgesetze
Extremalgesetze
Komplementärgesetze
De Morgansche Gesetze
Absorptionsgesetze

: Grundmenge

Distributivgesetze:

Involution:

Zweistellige Mengenoperationen[Bearbeiten]

A B Wert
0 0 a
0 1 b
1 0 c
1 1 d
Nr. dcba Mengenoperation Venn-Diagramm logische Funktion Relation
0 0000
(leere Menge)
Venn0000.svg
(Kontradiktion)
1 0001 Venn1000.svg
(NOR)
2 0010 Venn0010.svg
3 0011 Venn1010.svg
4 0100
(Differenz)
Venn0100.svg
5 0101 Venn1100.svg
6 0110
(symmetrische
Differenz)
Venn0110.svg
(Kontravalenz)
7 0111 Venn1110.svg
(NAND)
8 1000
(Schnitt)
Venn0001.svg
(Konjunktion)
9 1001 Venn1001.svg
(Äquivalenz)

10 1010
(Projektion)
Venn0011.svg
(Projektion)
11 1011 Venn1011.svg
(Implikation)
12 1100
(Projektion)
Venn0101.svg
(Projektion)
13 1101 Venn1101.svg
14 1110
(Vereinigung)
Venn0111.svg
(Disjunktion)
15 1111
(Grundmenge)
Venn1111.svg
(Tautologie)

Die Spalten dieser Tabelle hängen wie folgt zusammen. Sei die Nr. der Zeile. Es gibt je Zeile eine Mengenoperation , eine logische Funktion und eine Relation . Dabei gilt

und

Außerdem gilt

Die Binärzahl kodiert die Wertetabelle der logischen Funktion und kodiert außerdem die Partition von in die disjunkten Bereiche

Eine Stelle der Binärzahl gibt dabei an, ob der dazugehörige Bereich im Venn-Diagramm rot ausgefüllt ist.

Teilmengenrelation[Bearbeiten]

Zerlegung der Gleichheit:

Umschreibung der Teilmengenrelation:

Kontraposition:

Kontraposition bei Gleichheit:

Vereinigung und Schnitt[Bearbeiten]

Verallgemeinerte De Morgansche Gesetze:

Verallgemeinerte Distributivgesetze:

Verallgemeinerte Idempotenzgesetze:

Differenzmenge[Bearbeiten]

Distributivgesetze:

Pseudo-Distributivgesetze:

Symmetrische Differenz[Bearbeiten]

Distributivgesetz:

Kartesisches Produkt[Bearbeiten]

Distributivgesetze:

Weiterhin gilt:

Endliche Mengen[Bearbeiten]

Prinzip von Inklusion und Exklusion: