Formelsammlung Mathematik: Ungleichungen

Aus Wikibooks
Formelsammlung Mathematik

Bernoullische Ungleichung[Bearbeiten]


Dreiecksungleichung[Bearbeiten]


Verallgemeinerte Dreiecksungleichung[Bearbeiten]


Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung[Bearbeiten]

Sind und reelle Vektoren, so gilt


Kurz:


Ungleichungen zwischen Mittelwerten[Bearbeiten]

Für , ein Gewicht mit
und ein sei das gewichtete Hölder-Mittel.
Es gilt und für ist .


Insbesondere ergibt sich daraus die Ungleichungskette
.



Und daraus wiederum ergibt sich im ungewichteten/gleichgewichteten Fall die Ungleichungskette


.

MacLaurinsche Ungleichung[Bearbeiten]

Für die nichtnegativen Variablen


sei das k-te elementarsymmetrische Polynom


und der zugehörige elementarsymmetrische Mittelwert.


Es gilt .


Und es gilt für


Muirhead-Ungleichung[Bearbeiten]

Für -elementige Vektoren sei .


Sind , so gilt folgende Äquivalenz:


Logarithmischer Mittelwert[Bearbeiten]


Abschätzung zur eulerschen Zahl[Bearbeiten]


Monotoniebetrachtung:

Die Folge steigt streng monoton und die Folge fällt streng monoton.


[Potenzen, eulersche Zahl][Bearbeiten]


Napiersche-Ungleichung[Bearbeiten]


Nesbitt-Ungleichung[Bearbeiten]


Mahler-Ungleichung[Bearbeiten]

Sind Tupel positiver Zahlen, so gilt .


Tschebyscheff-Summen-Ungleichung[Bearbeiten]

Sind und gleichsinnig geordnete reelle Zahlen, so gilt



Tschebyscheff-Integral-Ungleichung[Bearbeiten]

Sind gleichsinnig monoton, dann gilt .


Anderson-Ungleichung[Bearbeiten]

Sind nichtnegative konvexe Funktionen mit , so gilt


.


Abschätzung zu log(1+x), cos(x), sin(x)[Bearbeiten]

ist


[Mit der Stirling-Formel verwandte Formel][Bearbeiten]


[Ungleichungen mit der Gammafunktion][Bearbeiten]



Gautschis Ungleichung[Bearbeiten]


Carlson-Ungleichung[Bearbeiten]

Ist eine Folge nichtnegativer Zahlen, wobei nicht alle Folgeglieder verschwinden, so gilt


Hilbertsche Ungleichung[Bearbeiten]

Sind zwei nichtnegative Zahlenfolgen, bei denen nicht alle Folgeglieder verschwinden und sind zwei Zahlen,
so dass und ist, dann gilt .


Hilbertsche Ungleichung für Integrale[Bearbeiten]

Sind zwei stetige Funktionen ungleich der Nullfunktion, so gilt
.


Hardy-Ungleichung für Integrale[Bearbeiten]

Ist eine integrierbare Funktion und ist , so gilt


Hardy-Ungleichung für Reihen[Bearbeiten]

Ist eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen und ist , so gilt


Gibbssche Ungleichung[Bearbeiten]

Sind und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
mit und , so gilt
, wobei Gleichheit nur im Fall auftritt.


Diskrete jensensche Ungleichung[Bearbeiten]

Ist konvex und sind nichtnegative Zahlen mit ,
dann gilt für beliebige die Ungleichung .


Jensensche Ungleichung für Integrale[Bearbeiten]

Ist eine integrierbare Funktion, so dass im Bild von konvex ist,
dann gilt


Hlawka-Ungleichung[Bearbeiten]