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Formelsammlung Mathematik: Ungleichungen

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Formelsammlung Mathematik

Bernoullische Ungleichung

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Dreiecksungleichung

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Verallgemeinerte Dreiecksungleichung

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Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung

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Sind und reelle Vektoren, so gilt


Kurz:


Ungleichungen zwischen Mittelwerten

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Für , ein Gewicht mit
und ein sei das gewichtete Hölder-Mittel.
Es gilt und für ist .


Insbesondere ergibt sich daraus die Ungleichungskette
.



Und daraus wiederum ergibt sich im ungewichteten/gleichgewichteten Fall die Ungleichungskette


.

MacLaurinsche Ungleichung

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Für die nichtnegativen Variablen


sei das k-te elementarsymmetrische Polynom


und der zugehörige elementarsymmetrische Mittelwert.


Es gilt .


Und es gilt für


Muirhead-Ungleichung

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Für -elementige Vektoren sei .


Sind , so gilt folgende Äquivalenz:


Logarithmischer Mittelwert

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Abschätzung zur eulerschen Zahl

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Monotoniebetrachtung:

Die Folge steigt streng monoton und die Folge fällt streng monoton.


[Potenzen, eulersche Zahl]

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Napiersche-Ungleichung

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Nesbitt-Ungleichung

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Mahler-Ungleichung

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Sind Tupel positiver Zahlen, so gilt .


Tschebyscheff-Summen-Ungleichung

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Sind und gleichsinnig geordnete reelle Zahlen, so gilt



Tschebyscheff-Integral-Ungleichung

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Sind gleichsinnig monoton, dann gilt .


Anderson-Ungleichung

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Sind nichtnegative konvexe Funktionen mit , so gilt


.


Abschätzung zu log(1+x), cos(x), sin(x)

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ist


[Mit der Stirling-Formel verwandte Formel]

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[Ungleichungen mit der Gammafunktion]

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Gautschis Ungleichung

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Carlson-Ungleichung

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Ist eine Folge nichtnegativer Zahlen, wobei nicht alle Folgeglieder verschwinden, so gilt


Hilbertsche Ungleichung

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Sind zwei nichtnegative Zahlenfolgen, bei denen nicht alle Folgeglieder verschwinden und sind zwei Zahlen,
so dass und ist, dann gilt .


Hilbertsche Ungleichung für Integrale

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Sind zwei stetige Funktionen ungleich der Nullfunktion, so gilt
.


Hardy-Ungleichung für Integrale

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Ist eine integrierbare Funktion und ist , so gilt


Hardy-Ungleichung für Reihen

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Ist eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen und ist , so gilt


Gibbssche Ungleichung

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Sind und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
mit und , so gilt
, wobei Gleichheit nur im Fall auftritt.


Diskrete jensensche Ungleichung

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Ist konvex und sind nichtnegative Zahlen mit ,
dann gilt für beliebige die Ungleichung .


Jensensche Ungleichung für Integrale

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Ist eine integrierbare Funktion, so dass im Bild von konvex ist,
dann gilt


Hlawka-Ungleichung

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