Formelsammlung Mathematik: Ungleichungen
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Bernoullische Ungleichung
[Bearbeiten]Induktionsanfang:
Induktionsschluss:
Dreiecksungleichung
[Bearbeiten],
dabei ist .
Also ist .
Verallgemeinerte Dreiecksungleichung
[Bearbeiten]Die Dreiecksungleichung ist der Induktionsanfang für n=2.
Induktionsschluss:
Cauchy-Schwarzsche-Ungleichung
[Bearbeiten]- Sind und reelle Vektoren, so gilt
- Kurz:
Setze
Ungleichungen zwischen Mittelwerten
[Bearbeiten]- Für , ein Gewicht mit
- und ein sei das gewichtete Hölder-Mittel.
- Es gilt und für ist .
Im Fall ist die Abbildung konvex.
Nach der Jensen-Ungleichung ist daher
.
Im Fall ist , woraus nach eben gezeigtem
folgt.
Multipliziert man mit den Kehrwerten durch, so ist . Und nachdem die Ungleichung für jede
Belegung gilt, ist sie auch erfüllt, wenn man jedes durch ersetzt.
Wegen gilt die Ungleichung auch für
und .
Im Fall folgt die Ungleichung aus der Transitivität .
- Insbesondere ergibt sich daraus die Ungleichungskette
- .
- Und daraus wiederum ergibt sich im ungewichteten/gleichgewichteten Fall die Ungleichungskette
- .
MacLaurinsche Ungleichung
[Bearbeiten]- Für die nichtnegativen Variablen
- sei das k-te elementarsymmetrische Polynom
- und der zugehörige elementarsymmetrische Mittelwert.
- Es gilt .
lässt sich nach dem Satz von Vieta schreiben als .
Ist , so gibt es nach dem Satz von Vieta ein mit .
Ist , so gilt für ebenfalls .
Die erste Ableitung lässt sich daher schreiben in der Form mit ebenfalls nichtnegativen Variablen .
Zum einen ist .
Zum anderen ist nach dem Satz von Vieta .
Man sieht daher, dass und den selben symmetrischen Mittelwert besitzen, .
Durch Induktion folgt, dass jede weitere Ableitung von lauter reelle Nullstellen besitzt.
.
Nach dem Satz von Vieta lässt sich auch in der Form schreiben.
Also stimmt bei jeder Ableitung mit überein.
Nun ist und .
Nach der AM-GM Ungleichung ist .
Also ist .
- Und es gilt für
Aus der oben verwendeten Gleichung folgt für
ist daher gleichbedeutend mit
,
was gerade die Ungleichung von quadratischen und arithmetischem Mittel ist.
Muirhead-Ungleichung
[Bearbeiten]- Für -elementige Vektoren sei .
- Sind , so gilt folgende Äquivalenz:
Logarithmischer Mittelwert
[Bearbeiten]
Abschätzung zur eulerschen Zahl
[Bearbeiten]Für ist .
Wegen
ist daher
.
Monotoniebetrachtung:
- Die Folge steigt streng monoton und die Folge fällt streng monoton.
Es sei eine natürliche Zahl.
Letzte Ungleichung gilt, weil nach der Bernoulli-Ungleichung ist.
Letzte Ungleichung gilt, weil nach der Bernoulli-Ungleichung ist.
[Potenzen, eulersche Zahl]
[Bearbeiten]Definiert man durch ,
dann ist und .
Daher ist , also .
Napiersche-Ungleichung
[Bearbeiten]Für ist und somit .
Für ist damit und somit .
Und es ist .
Man erhält die Abschätzung für .
Setze dann ist , gleichbedeutend mit .
Nesbitt-Ungleichung
[Bearbeiten]Nach der AM-HM Ungleichung ist .
Somit ist .
Und daraus folgt .
Mahler-Ungleichung
[Bearbeiten]- Sind Tupel positiver Zahlen, so gilt .
Nach der AM-GM Ungleichung ist
und entsprechend .
Somit ist .
Multipliziert man beide Seiten mit durch, so ist .
Tschebyscheff-Summen-Ungleichung
[Bearbeiten]- Sind und gleichsinnig geordnete reelle Zahlen, so gilt
Aus folgt .
Summiere nun beide Seiten nach k und j jeweils von 1 bis n:
Tschebyscheff-Integral-Ungleichung
[Bearbeiten]- Sind gleichsinnig monoton, dann gilt .
Aus folgt .
Integriere nun beide Seiten nach x und y jeweils von 0 bis 1:
Nach der Tschebyscheff Summen-Ungleichung ist .
Für gehen die Riemannschen Approximationssummen in die gewünschten Integrale über.
Anderson-Ungleichung
[Bearbeiten]- Sind nichtnegative konvexe Funktionen mit , so gilt
- .
Es sei die Menge der nichtnegativen konvexen Funktionen mit .
Jede Funktion wächst monoton, denn gäbe es , so dass ist,
so würde der Punkt überhalb der Sekante liegen.
ist abgeschlossen bezüglich der Multiplikation, das heißt aus folgt .
Da und beide monoton wachsen, ist
,
woraus folgt.
Für mit ist dann
, nachdem und konvex sind.
Und das ist
.
Definiert man , dann gilt die Implikation .
Für alle gilt die Ungleichung .
Die Flächen und sind gleich.
Es gibt einen Wert , so dass
für alle ist und für alle ist.
Also ist
Nachdem monoton wächst, ist
.
Daher ist .
Für gilt dann
.
Abschätzung zu log(1+x), cos(x), sin(x)
[Bearbeiten]- ist
[Mit der Stirling-Formel verwandte Formel]
[Bearbeiten]
Da der natürliche Logarithmus streng monoton wächst ist .
Summiert man nach von bis , so ist .
Dabei ist .
Also ist .
[Ungleichungen mit der Gammafunktion]
[Bearbeiten]
ist nach der Hölderungleichung
.
In der Ungleichung für und
setze und , so ist .
Setzt man hingegen und , so ist
.
Und somit ist .
Gautschis Ungleichung
[Bearbeiten]
Carlson-Ungleichung
[Bearbeiten]- Ist eine Folge nichtnegativer Zahlen, wobei nicht alle Folgeglieder verschwinden, so gilt
Sei und setze und .
ist nach Cauchy-Schwarzscher-Ungleichung
.
Setzt man und , so ist .
Durchquadrieren liefert die Behauptung.
Betrachte die Fourierreihe mit deren Ableitung .
Nach der Parsevalschen Gleichung ist und .
Wegen , gibt es ein , so dass ist.
Also ist , und das ist nach Cauchy-Schwarzscher-Ungleichung
.
Durchquadrieren liefert die Behauptung.
Hilbertsche Ungleichung
[Bearbeiten]- Sind zwei nichtnegative Zahlenfolgen, bei denen nicht alle Folgeglieder verschwinden und sind zwei Zahlen,
- so dass und ist, dann gilt .
Für ein ist die Riemannsche Approximationssumme
kleiner als das Integral , weil der Integrand streng monoton fällt.
Nun ist nach der Hölderschen Ungleichung
.
Hilbertsche Ungleichung für Integrale
[Bearbeiten]- Sind zwei stetige Funktionen ungleich der Nullfunktion, so gilt
- .
Hardy-Ungleichung für Integrale
[Bearbeiten]- Ist eine integrierbare Funktion und ist , so gilt
Setze .
Nach der Substitution ist
.
Da die Abbildung konvex ist, gilt nach der Jensen-Ungleichung
.
Mache beim letzten Term die Substitution rückgängig.
Der letzte Term ist dann .
Also ist .
Und damit ist
.
Setzt man , so ist .
Hardy-Ungleichung für Reihen
[Bearbeiten]- Ist eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen und ist , so gilt
Gibbssche Ungleichung
[Bearbeiten]- Sind und diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen
- mit und , so gilt
- , wobei Gleichheit nur im Fall auftritt.
Diskrete jensensche Ungleichung
[Bearbeiten]- Ist konvex und sind nichtnegative Zahlen mit ,
- dann gilt für beliebige die Ungleichung .
Im Fall gilt für eine konvexe Funktion die Ungleichung per Definition.
Induktionsschritt:
Aus folgt .
Jensensche Ungleichung für Integrale
[Bearbeiten]- Ist eine integrierbare Funktion, so dass im Bild von konvex ist,
- dann gilt
Sei zunächst eine integrierbare Funktion, so dass im Bild von
konvex ist.
In der diskreten Jensen-Ungleichung
setze und .
Für ergibt sich .
Nach der Substitution ist
Setze , dann ist .
Hlawka-Ungleichung
[Bearbeiten]