Grundlagen der Akustik: Physikalische Grundlagen

Grundlagen der Akustik

Einleitung - Physik - Obertöne + Fourier-Analyse - Tonsysteme - Lautstärke - Anhang

 

Druck

Jede Materie besteht aus Stoffteilchen. Dies sind die kleinsten für den jeweiligen Stoff charakteristischen Einheiten (Ionen von Ionenverbindungen, Atomrümpfe von Metallen und Moleküle von Molekularstoffen). Die am häufigsten vorkommenden Stoffteilchen sind die Moleküle. So besteht beispielsweise die Luft aus einem Gemisch aus Stickstoff-, Sauerstoff- und Kohlendioxidmolekülen (und noch weiteren). Wasser hingegen besteht ausschließlich aus Wassermolekülen (Fig. 1). Diese Stoffteilchen befinden sich in einem bestimmten Abstand voneinander, der durch den Druck bestimmt ist. Wenn sich dieser Druck nun ändert, hat dies zur Folge, dass sich die Stoffteilchen nicht mehr im selben Abstand voneinander befinden.

Fig. 1: Darstellung eines Wassermoleküls, bestehend aus zwei Wasserstoffatomen (außen) und einem Sauerstoffatom (Mitte)

Füllt man zum Beispiel einen festen (nicht elastischen) Behälter mit Luft, so nimmt der Luftdruck im Behälter zu, da die Anzahl der Moleküle im Behälter immer größer wird. Weil den Molekülen nun weniger Platz zu Verfügung steht, nimmt der Abstand zwischen den Molekülen ab.

Druck (Formelzeichen p) ist allgemein definiert als Kraft F, die senkrecht auf eine Fläche A wirkt. Es gilt:

$p=F/A.$

Gemessen wird der Druck in Pascal (Einheitenzeichen Pa; benannt nach Blaise Pascal (1623–1662): französischer Mathematiker, Physiker und Philosoph); es gilt:

$1\,\mathrm {Pa} =1\,\mathrm {N} /\mathrm {m} ^{2}.$

Schall

Schall kann definiert werden als zeitliche und örtliche Änderung des Druckes bzw. der Dichte einer Materie oder als örtlich begrenzte Änderung des Abstandes der Stoffteilchen gegenüber dem durchschnittlichen Abstand der Teilchen des umgebenden Stoffes. Weil Stoffteilchen nicht nur in Gasen (z. B. Luft), sondern auch in Flüssigkeiten oder Feststoffen vorkommen, kann sich der Schall folglich überall außer im Vakuum, das keine Stoffteilchen enthält, ausbreiten. Schall benötigt daher – im Gegensatz zum Licht, das sich auch im Vakuum ausbreiten kann – ein sog. Überträgermedium (Schallträger).

Klatscht man in die Hände, so verdrängt man die Luft zwischen den Handflächen. Dies hat eine kurze lokale Druckänderung zur Folge (Fig. 2); man hat Schall erzeugt.

Fig. 2: Durch Händeklatschen hervorgerufene Druckänderung

Schwingungen

Eine Schwingung ist in der Physik definiert als ein Ereignis, bei dem eine physikalische Größe zeitlich abwechselnd zu- und abnimmt. Die Schwingung tritt dann auf, wenn bei Störung eines Gleichgewichtszustandes Rückstellkräfte wirken, die diesen Gleichgewichtszustand wiederherzustellen versuchen, so dass die physikalische Größe nach gewissen Zeitabschnitten wieder den ursprünglichen Wert annimmt. Man kann Schall daher auch als Schwingung (Hin-und-her-Bewegung) von Stoffteilchen um ihre gewöhnliche Position, der Ruhelage, verstehen. Der Druck ist dabei minimal oder maximal, wenn sich das Stoffteilchen in seiner größten Auslenkungslage befindet. Er ist folglich proportional mit der Auslenkung des Teilchens. Der mittlere Druck stimmt mit der Ruhelage des Teilchens überein.

Bei dem in Fig. 2 dargestellten Diagramm handelt es sich somit um eine Schwingung.

Eine Schwingung besitzt einige Eigenschaften, die im Folgenden aufgeführt sind (siehe auch Fig. 3):

• Die Elongation (Schwingungsausschlag; Formelzeichen x) ist die Auslenkung – der Abstand des schwingenden Körpers von der Ruhelage – zu einem bestimmten Zeitpunkt.
• Der Abstand von der Ruhelage zum Ort der größten Auslenkung ist die Amplitude (Schwingungsweite; Formelzeichen x_max).

Der Punkt der größten Auslenkung wird Umkehrpunkt (Wendepunkt) genannt. Die Rückstellkräfte wirken hier maximal.

• Die Schnelle (Formelzeichen v, gemessen in m/s) ist die Geschwindigkeit des Teilchens. Sie ist minimal, wenn sich das Teilchen am Ort der größten Auslenkung befindet, und maximal, wenn es sich durch seine Ruhelage bewegt (bei x = 0).
• Eine ganze Schwingung wird Periode genannt. Es ist zu beachten, dass unter einer ganzen Schwingung das Hin-und-Her-Bewegen eines Teilchens verstanden wird, also nicht nur in eine Richtung. Häufig wird die Periode mit der Schwingungs- oder Periodendauer verwechselt.
• Die Zeit, die für eine ganze Schwingung (Periode) benötigt wird, nennt man Schwingungsdauer oder Periodendauer (Formelzeichen T).
• Die Anzahl Perioden, die während einer bestimmten Zeit ablaufen, wird Frequenz (Formelzeichen f) genannt. Die Frequenz wird in Hertz (Hz; 1 Hz= 1/s) gemessen.

Fig. 3: Diagramm einer harmonischen Schwingung

• Die Phase einer Schwingung beschreibt ihren Schwingungszustand zum Zeitpunkt t = 0. So haben die beiden in Fig. 4 dargestellten Schwingungen nicht dieselbe Phase, da beide bei t = 0 einen anderen Schwingungszustand aufweisen.

Fig. 4: Zwei Schwingungen unterschiedlicher Phasen

Beträgt die Frequenz einer Schwingung 10 Hz, was zehn Schwingungen pro Sekunde entspricht, dann beträgt eine Periodendauer 1/10 s = 0,1 s. Bei einer Periodendauer von 0,5 s würde die Frequenz 1/0,5 s = 2 Hz betragen. Frequenz (f) und Periodendauer (T) hängen folglich voneinander ab und zwar umgekehrt proportional. Es gilt:

$T=1/f.$

Bei der in Fig. 3 dargestellten Schwingung handelt es sich um eine Sinusschwingung (harmonische Schwingung), die exakt durch die Sinusfunktion definiert ist.

Eine Schwingung, deren Perioden exakt gleich aussehen, nennt man periodische Schwingung. Harmonische Schwingungen sind somit auch periodische Schwingungen, was nicht heißt, dass auch periodische Schwingungen immer harmonisch sind; dies ist nur selten der Fall.

Wellen

Ein Lautsprecher erzeugt Schall, indem sich seine Membran periodisch bewegt, so dass kleine Druckänderungen – also Schwingungen von Luftmolekülen – entstehen. Es sind jedoch nicht nur die Moleküle unmittelbar neben dem Lautsprecher, die in Schwingung sind. Die erregten Teilchen wirken auf ihre Nachbarn, das heißt, sie bringen diese aus ihrer Ruhelage, so dass sie auch in Schwingung geraten und ihre Nachbarn erregen können. Diese Erregung der Nachbarmoleküle geschieht in alle Raumrichtungen (dreidimensional). Da es sich hier um progressive, zeitliche und räumliche Veränderungen von Schwingungszuständen handelt, spricht man von Wellen (siehe Fig. 5). Während ein (zweidimensionales) Diagramm einer Schwingung die Schwingungszustände eines einzelnen schwingenden Objektes zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt, gibt ein zweidimensionales Diagramm einer Welle die Schwingungszustände mehrerer sich in Schwingung befindenden Objekte zu einem bestimmten Zeitpunkt in eine bestimmte Raumrichtung an. Schallwellen geben zu einem festgelegten Zeitpunkt die Schwingungszustände mehrerer Teilchen an. Der Lautsprecher sendet also Schall bzw. Schallwellen in alle Richtungen aus.

Fig. 5: Diagramm einer harmonischen Welle

Die Eigenschaften Elongation und Amplitude können auch für die Welle übernommen werden, da die (senkrechten!) x-Achsen von Diagrammen einer Schwingung und einer Welle übereinstimmen. Es ist allerdings zu beachten, dass für die Elongation einer Welle das Formelzeichen u (bei Schwingungen: x) benützt, für die Amplitude somit u₀ (bei Schwingung: x₀). Die Definitionen der Frequenz und der Periodendauer müssen ein wenig abgeändert werden: Unter der Frequenz einer Welle versteht man die Frequenz der Schwingungen des Ausbreitungsmediums (Überträgermediums). Die Periodendauer ist die Zeit zwischen zwei aufeinanderfolgenden Wellenmaxima, bzw. die Zeit die vergeht, bis sich die Form der Welle wiederholt. Dazu kommen einige neue Eigenschaften:

• Die Wellenlänge (Formelzeichen λ) ist die Distanz zwischen zwei benachbarten Punkten mit gleicher Phase, so z. B. zwischen zwei Wellenmaxima oder -minima.
• Die Wellenfront (Wellenfläche) wird aus allen Punkten mit derselben Phase gebildet.
• Die Anzahl Wellenwiederholungen pro Länge nennt man Wellenzahl (Repetenz; Formelzeichen σ, gemessen in m⁻¹). Beträgt die Wellenlänge 10 m, dann sind das 1/10 m = 0,1 m⁻¹ Wellenwiederholungen. Bei einer Wellenzahl von 0,5 m⁻¹ würde die Wellenlänge 1/0,5 m⁻¹ = 2 m betragen. Wellenlänge und Wellenzahl hängen folglich voneinander ab und zwar – wie auch Frequenz und Periodendauer – umgekehrt proportional. Es gilt:

$\sigma =1/\lambda$

• Unter der Phasengeschwindigkeit (Fortpflanzungsgeschwindigkeit; Formelzeichen v) versteht man die Geschwindigkeit, mit der sich eine bestimmte Schwingungsphase fortpflanzt; sie entspricht der Geschwindigkeit, mit der sich eine Erregung im Trägermedium ausbreitet. Beim Schall wird sie Schallgeschwindigkeit (Formelzeichen c) genannt. Der Wert hängt dabei vom Überträgermedium ab; in der Luft beträgt sie – je nach Luftfeuchtigkeit, Luftdruck und Temperatur – zwischen 330 m/s und 340 m/s. Für andere Überträgermedien gilt: Je leichter und härter das Material ist, desto schneller kann sich eine Schallwelle hindurchbewegen. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die ungefähren Schallgeschwindigkeiten einiger Materialien bei 20 °C.

Material	c in m/s
Blei	2 160
Eisen	5 950
Gepresster Kork	540
Gold	3 240
Holz	3 300–5 300
Kupfer	5 010
Meerwasser	1 530
Sauerstoff	320
Wasser	1 500
Wasserstoff	1 280

Hat der auf einer Welle befindende Punkt eine vollständige Schwingung ausgeführt, so hat sich die Welle um eine Wellenlänge λ ausgebreitet. Bei zwei Schwingungen würde sich die Welle um 2 · λ weiterbewegen, bei drei Schwingungen um 3 · λ usw. Allgemein gilt folglich: Führt ein Punkt auf einer Welle n Schwingungen aus, so hat sich die Welle um n · λ ausgebreitet. Wie lange der Punkt für eine Schwingung benötigt, ist durch die Periodendauer der Schwingung bzw. der Welle bestimmt. Geschwindigkeit ist Strecke (in diesem Fall Wellenlänge) durch Zeit (hier: Periodendauer). Für die Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer Welle – und damit für die Phasengeschwindigkeit – gilt demnach:

$v=\lambda /T.$

Da T = 1/f gilt auch:

$v=\lambda \cdot f.$

Schallquellen und Schallempfänger

Akustische Vorgänge ereignen sich zwischen Schallquellen (Schallsendern) und Schallempfänger ab. Die Schallquellen geben dabei Schallwellen ab, die von den Schallempfängern aufgenommen werden. Der Weg, den die Schallwellen dabei passieren müssen, wird Übertragungsweg genannt.

Longitudinal- und Transversalwellen

Es gibt zwei Arten von Wellen (Fig. 6):

• Bei einer Longitudinalwelle (Längswelle) stimmt die Ausbreitungsrichtung mit der Schwingungsrichtung überein.
• Bei Transversalwellen (Querwellen) steht die Ausbreitungsrichtung senkrecht zur Schwingungsrichtung.

Fig. 6: Schwingungs- und Ausbreitungsrichtung einer Longitudinalwelle (a) und einer Transversalwelle (b)

Schwebung

Man spricht von einer Schwebung, wenn sich die Amplitude einer Schwingung periodisch mit der Frequenz ändert. Sie kommt zustande, indem zwei Sinusschwingungen, deren Frequenzen sich nur schwach unterscheiden, miteinander erklingen. Die beiden Schwingungen addieren sich (siehe Anhang 6.3), wodurch eine neue Schwingung entsteht, deren Amplitude sich nun periodisch mit der Frequenz ändert (Fig. 7). Unser Gehör nimmt nur einen Ton wahr, dessen Lautstärke periodisch zu- und abnimmt.

Fig. 7: Schwebung aus den beiden oberen Sinustönen, deren Frequenzen sich nur leicht unterscheiden

Die Schwebung kann angewendet werden, um die drei (oder zwei) Saiten eines Klaviertons (bzw. Klavierklangs, da es sich hier nicht um einen Sinuston handelt) zu stimmen. Wenn die Schwebung nachlässt, kann man davon ausgehen, dass die Saiten gleich gestimmt sind.

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