Ing Mathematik: Funktionen mehrerer Veränderlicher

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Zusammenfassung[Bearbeiten]

Betrachtet man Funktionen, die von mehreren Ortskoordinaten abhängen, so kann man sie nach jeder dieser Ortskoordinaten ableiten und das ggfs. auch mehrfach. Einige Linearkombinationen solcher Ableitungen werden besonders häufig verwendet, z. B der Gradient, die Divergenz, der Laplace-Operator oder der Drehimpulsoperator. Zusammenfassend bezeichnet man diese als Differentialoperatoren. Man kann Ortskoordinaten in verschiedenen Koordinatensystemen angeben. Häufig verwendet werden kartesische Koordinaten, Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten. Betrachtet man dieselbe Funktion dargestellt in unterschiedlichen Koordinatensystemen, so sieht die Funktionsgleichung meist sehr unterschiedlich aus, jenachdem, in welchem Koordinatensystem man sie darstellt. Genauso sehen die Differentialoperatoren in unterschiedlichen Koordinatensystem unterschiedlich aus. Im folgenden geben wir an, wie einige Differentialoperatoren in verschiedenen Koordinatensystem aussehen und anschließend rechnen wir die angegebenen Formeln nach.

Divergenz[Bearbeiten]

Wir betrachten eine Funktion . In Komponentenschreibweise ist gegeben durch:

Es ist zu beachten, dass wir fett (bold) gesetzt haben, wobei wir normal (regular) gesetzt haben. Hierdurch drückt man in der Regel aus, dass in einen mehrdimensionalen Vektorraum abbildet, bzw, dass mehr als eine Komponente hat oder, anders ausgedrückt, eine vektorwertige Funktion ist. Hingegen wird normal gesetzt, weil es nur genau eine Komponente hat. Eine andere Möglichkeit, die Vektorwertigkeit einer Funktion auszudrücken, ist ein Pfeil über dem Funktionssymbol:

Eine weitere Möglichkeit der Komponentenschreibweise ist:

Abkürzend hierfür schreibt man auch:

Hierbei haben wir alle drei Komponenten der Funktion zusammenfassend durch das Symbol ausgedrückt. Hierbei fällt auf, dass der Index im Symbol kursiv gesetzt wurde. Hingegen wurde der Index im Symbol normal gesetzt. Auch dies ist eine Konvention. Die Vektorwertigkeit von wird durch die Kursivschrift des ausgedrückt.

Die Divergenz in kartesischen Koordinaten ist definiert durch:

Eine alternative Schreibweise ist:

Diese kann man noch weiter verkürzen zu:

Zylinderkoordinaten[Bearbeiten]

Umrechnung von Zylinderkoordinaten in kartesische Koordinaten[Bearbeiten]

Die Zylinderkoordinaten werden durch folgende Gleichungen definiert:

Umrechnung von kartesischen Koordinaten in Zylinderkoordinaten[Bearbeiten]

Aus den Definitionsgleichungen erhält man:

Ableitungen der Zylinderkoordinaten nach den kartesischen Koordinaten[Bearbeiten]

Leitet man die obigen Gleichungen ab, so erhält man:

Ableitung einer Funktion in Zylinderkoordinaten nach kartesischen Koordinaten[Bearbeiten]

Will man eine Funktion in Zylinderkoordinaten nach kartesischen Koordinaten ableiten, so muss man die (mehrdimensionale) Kettenregel berücksichtigen und erhält:

Ableitungen der kartesischen Koordinaten nach den Zylinderkoordinaten[Bearbeiten]



Sphärische Koordinaten[Bearbeiten]




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