Ing Mathematik: Näherungsweises Lösen gewöhnlicher Dgl.

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Numerisches Differenzieren

Die findiff-Funktion

Python-Code:

import findiff
import numpy as np

x = np.linspace(0, 1, 100)

f = np.sin(x)  
d_dx = findiff.FinDiff(0, x, 1)
df_dx = d_dx(f) 

print(df_dx[-1])

Ausgabe:

0.5403208977697744

Differenzenquotient

Vorwärts-Differenzenquotient: $y'\approx {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y(x+h)-y(x)}{(x+h)-x}}={\frac {y_{(k+1)}-y_{(k)}}{h}}$
Rückwärts-Differenzenquotient: $y'\approx {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y(x)-y(x-h)}{x-(x-h)}}={\frac {y_{(k)}-y_{(k-1)}}{h}}$
Zentraler Differenzenquotient: $y'\approx {\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y(x+h)-y(x-h)}{(x+h)-(x-h)}}={\frac {y_{(k+1)}-y_{(k-1)}}{2\cdot h}}$

Siehe auch Numerische Differentiation, Differenzenquotient.

Satz von Taylor

Taylorpolynom: $T_{n}f(x;a)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}$

Lagrangesche Restgliedformel: $R_{n}f(x;a)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}$

$f(x)=T_{n}f(x;a)+R_{n}f(x;a)$

Siehe auch Taylor-Formel, Knorrenschild: Seite 112ff

Diskretisierungsfehler

Problem: Wählt man $h$ zu klein, so ist ggf. der Rundungsfehler zu groß. Ist $h$ zu groß, dann ist offensischtlich der Diskretisierungsfehler hoch.

Herleitung: Mit der Taylorformel erhält man für $x=x_{0}+h;n=1$

$f(x_{0}+h)=f(x_{0})+f'(x_{0})h+{\frac {f''(\xi )}{2}}h^{2}$

$\underbrace {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}} _{D_{1}f(x_{0},h)}=f'(x_{0})+{\frac {f''(\xi )}{2}}h$

Diskretisierungsfehler: $|D_{1}f(x_{0},h)-f'(x_{0})|$

(Fehler)Ordnung $k$ : $|D_{1}f(x_{0},h)-f'(x_{0})|\leq Kh^{k};$ mit $K>0$ .

Je höher die Fehlerordnung, desto genauer ist i. A. die Formel. Die Schrittweite h ist optimal, wenn der Gesamtfehler aus Diskretisierungs- und Rundungsfehler minimal wird. Lt. Korrenschild: Seite 115 ist das Optimum bei $h_{opt}\approx 2{\sqrt {{\frac {|f(x_{0})|}{|f''(x_{0})|}}\cdot {\text{eps}}}}$ erreicht. eps sei die Maschinengenauigkeit.

Siehe auch Lokaler Diskretisierungsfehler.

Gewöhnliche Differentialgleichungen - Allgemeines

Siehe auch Differentialgleichung und Burg, Haf, Wille, Meister

Anfangswertprobleme

Allgemeines

Die Lösung eines Anfangswertproblems ist die Lösung der Differentialgleichung plus Berücksichtigung von vorgegebenen Anfangswerten.

$y'=f(t,y)$ mit $\quad y(0)=y_{0},\quad 0\leq t\leq T$ .

Wie nachfolgendes Bild zeigt, gibt es auch hier eine Vielzahl an numerischen Methoden (das Bild beinhaltet nicht alle verfügbaren Methoden, Quelle: Tabellen in Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 75f).

Lipschitz-Bedingung

Rudolf Lipschitz (deutscher Mathematiker, 1832-1903)

$\|f(t,y)-f(t,z)\|_{2}\leq L\|y-z\|_{2}$ heißt lipschitzstetig, wenn eine Konstante (die Lipschitz-Konstante) $L\in \mathbb {R} _{0}$ existiert, die für alle $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ gilt.

Siehe auch Lipschitz-stetige Funktion, Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 21, Hanke-Bourgeois: Seite 553

Picard-Lindelöf

Ernst Leonard Lindelöf (finnischer Mathematiker, 1870-1946)

Existenzproblem: Finden wir stets eine Lösung des Anfangswertproblems?
Eindeutigkeit: Ist dies die einzige Lösung?
Ist diese Lösung lokal oder lässt sie sich auf einen größeren Bereich fortsetzen?

Die dritte Frage lässt sich so beantworten: Existenzaussagen sind i.A. nur lokal gültig. Die ersten beiden beantwortet der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf.

Die nachfolgende Variante des Satzes von Picard-Lindelöf stammt aus Wikipedia ( Satz von Picard-Lindelöf, Autoren siehe dort):

Sei $E$ ein Banachraum, $G\subset \mathbb {R} \times E$ , $y_{0}\in E,R>0$ mit $[a,b]\times {\overline {B}}(y_{0},R)\subset G$ und $f\colon G\to E$ stetig und lokal Lipschitz-stetig in der zweiten Variablen. Hierin bezeichnet

{\overline {B}}(y_{0},R):=\{z\in E\ |\ \|z-y_{0}\|\leq R\}

die abgeschlossene Kugel um $y_{0}$ mit Radius $R$ . Ist

M:=\max\{\|f(x,y)\|\ |\ (x,y)\in [a,b]\times {\overline {B}}(y_{0},R)\}

und

\alpha :=\min \left\{b-a,{\frac {R}{M}}\right\},

dann existiert genau eine Lösung des Anfangswertproblems

y'=f(x,y),\quad y(a)=y_{0}

auf dem Intervall $[a,a+\alpha ]$ ; sie hat Werte in ${\overline {B}}(y_{0},R)$ .

Eine etwas einfacher verständliche Variante findet sich in Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 15ff. Auch in Hanke-Bourgeois: Seite 553ff findet sich dieser Satz.

Rekursionsformel nach Picard-Lindelöf:

Das Anfangswertproblem wird durch die Integralgleichung $y(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y(t))dt$ ersetzt.

$y_{0}(x)=y_{0}$

$y_{i}(x)=y_{0}+\int _{x_{0}}^{x}f(t,y_{n-1}(t))dt;\quad i\in \mathbb {N}$ .

Dabei muss gelten: $f,{\frac {\partial f}{\partial y}}$ stetig.

Mit dem Verfahren von Picard-Lindelöf ist zwar schon eine Methode zur numerischen Lösung von Anfangswertproblemen gegeben. In Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 22ff ist ein einfaches Beispiel gezeigt. Allerdings lassen sich oft die Integrale nicht einfach explizit bestimmen. Es gibt daher eine Vielzahl anderer Methoden, die dieses Problem vermeiden.

Integrationsmethoden

$y(t_{i+m})-y(t_{i})=\int _{t_{i}}^{t_{i+m}}f(t,y(t))dt$ . Das Integral kann durch numerische Quadraturformeln gelöst werden. Mit der Rechteckregel ergibt sich:

$\int _{t_{i}}^{t_{i+m}}f(t,y(t))dt\approx \int _{t_{i}}^{t_{i+m}}r(t)dt=\underbrace {(t_{i+m}-t_{i})} _{m\Delta t}\underbrace {r(t_{i})} _{f(t_{i},y(t_{i}))}=m\Delta tf(t_{i},y(t_{i}))$

Differenziationsmethoden

$y'(t_{i})\approx {\frac {y(t_{i+1})-y(t_{i})}{\Delta t}}$

$\underbrace {y'(t_{i})} _{f(t_{i},y(t_{i}))}\Delta t\approx y(t_{i+1})-y(t_{i})$

Einschrittverfahren

Zur Berechnung der Größe $y_{i+1}$ ist stets die Verfügbarkeit von $y_{i}$ ausreichend.

Einschrittverfahren

Mehrschrittverfahren

Zur Berechnung der Lösung $y_{i+m}$ sind neben $y_{i+m-1}$ mit $y_{i+m-2},\dots ,y_{i}$ noch weitere Stützpunkte zu berücksichtigen.

Mehrschrittverfahren

Explizite Verfahren

Weist die Verfahrensfunktion keine Abhängigkeit von $y_{i+m}$ auf, so heißt das Verfahren explizit.

Implizite Verfahren

Weist die Verfahrensfunktion eine Abhängigkeit von $y_{i+m}$ auf, so heißt das Verfahren implizit.

Steife Differenzialgleichungen

Bei diesen versagen explizite Einschrittverfahren (Quelle: Hanke-Bourgeois: Seite 587). Die Lösungskomponenten setzen sich aus verschieden stark exponentiell abklingenden Anteilen zusammen (Quelle: Bronstein, Semendjajew, Musil, Mühlig: Taschenbuch der Mathematik. 7. Aufl., Harri Deutsch, 2008, Seite 978). Die Lipschitzkonstante nimmt große Werte $L\gg 1$ an.

Siehe auch Steifes Anfangswertproblem. Im Englischen werden derartige DGL als stiff bezeichnet.

Ein PDF-File zum Thema Steife Differentialgeichungen findet sich auch auf [1].

Euler

Explizit

$y(t_{i+m})-y(t_{i})=\int _{t_{i}}^{t_{i+m}}f(t,y(t))dt$

$\int _{t_{i}}^{t_{i+m}}f(t,y(t))dt\approx \int _{t_{i}}^{t_{i+m}}r(t)dt=\underbrace {(t_{i+m}-t_{i})} _{m\Delta t}\underbrace {r(t_{i})} _{f(t_{i},y(t_{i}))}=m\Delta tf(t_{i},y(t_{i}))$

Mit $m=1$ kann dieses Verfahren aus obigen Formeln abgeleitet werden. Oder noch einfacher via nachfolgendem Bildchen.

$f(t_{0},y_{0})=y_{0}'={\frac {\Delta y}{\Delta t}}={\frac {y_{1}-y_{0}}{\Delta t}}$

$y_{1}=y_{0}+\Delta tf(t_{0},y_{0})$

oder allgemein

$y_{i+1}=y_{i}+\Delta tf(t_{i},y_{i});\quad i=0,\dots ,n-1$

Dieses Verfahren wird auch Euler-Cauchy-, Vorwärts-Euler-Verfahren oder eulersches Polygonzugverfahren genannt.

Siehe auch Explizites Euler-Verfahren, Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 43ff, Knorrenschild: Seite 147ff oder Hanke-Bourgeois: Seite 557ff

Implizit

$y_{i+1}=y_{i}+\Delta tf(t_{i+1},y_{i+1});\quad i=0,\dots ,n-1$

Auch dieses Verfahren lässt sich aus dem obigen Bild herleiten. Diesmal wird aber nicht der Punkt $i$ betrachtet, sondern $i+1$ . Es wird auch Rückwärts-Euler-Verfahren genannt.

Siehe auch Implizites Euler-Verfahren, Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 45ff oder Hanke-Bourgeois: Seite 560ff

Runge

Es ist ein verbessertes Polygonzugverfahren. Es lässt sich auch mit der Mittelpunktregel herleiten.

$y_{i+1}=y_{i}+\Delta tf\left(t_{i}+{\frac {\Delta t}{2}},y_{i}+{\frac {\Delta t}{2}}f(t_{i},y_{i})\right);\quad i=0,\dots ,n-1$

Siehe auch Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 53f.

Runge-Kutta

Python-Programm:

import scipy
import numpy as np

def dy_dx(x, y):
    return y

y0 = [1]
xi = [0, 10]

z = scipy.integrate.solve_ivp(dy_dx, xi, y0, method="RK45")
y = z.y 

print(y[-1, -1])

Ausgabe:

22016.12509092586

Die exakte Lösung wäre: $y=e^{x}=e^{10}=22026.47$

Siehe auch Runge-Kutta-Verfahren, Burg, Haf, Wille, Meister: Seite 55ff, Knorrenschild: Seite 157ff, Hanke-Bourgeois: Seite 565ff

Gedruckte Bücher (auszugsweise)

Burg, Haf, Wille, Meister: Höhere Mathematik für Ingenieure, Band III: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Distributionen, Integraltransformationen. 5. Auflage, Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0565-2
Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens. 3. Aufl., Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8348-0708-3
Knorrenschild: Numerische Mathematik, Eine beispielorientierte Einführung. 6. Aufl., Hanser, 2017, ISBN 978-3-446-45161-2

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