Ing Mathematik: Reihen

In diesem Kapitel geht es um Reihen. Endliche Reihen sind uns schon begegnet, wir werden uns jedoch nun etwas detaillierter mit ihnen auseinandersetzen und uns insbesondere die unendlichen Reihen anschauen. Reihen gehören zu den grundlegendsten Elementen der Mathematik, ein tieferes Verständnis ohne sie ist nicht möglich.

Grundlegendes

Wir erinnern uns an die Summe: $\textstyle \sum _{k}^{n}x_{k}$, wobei $x_{k}$ ein Summenglied darstellt. Diese Summe addiert die einzelnen Glieder $x_{k}$ und zählt den Index k so lange hoch, bis $n$ erreicht wurde. Doch was passiert nun, wenn wir unendlich viele Gleider aufsummieren? Wie hat man sich das vorzustellen?

Interpretieren wir die Summe nun etwas anders, nämlich als Folge der einzelnen sog. Partialsummen:

$\left(\sum _{k}^{n}x_{k}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

Sei nun die Folge $\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ gegeben mit

$a_{n}=\sum _{k}^{n}x_{k}$

Auf den ersten Blick mag das zwar fürchterlich aussehen, doch haben wir hier das problem auf etwas Bekanntes zurückgeführt: Unsere Folgen. Wir können nun über Konvergenzen reden, Grenzwerte betrachten, etc.

Beispiel

Wir betrachten wieder die geometrische Reihe (s. Vollständige Induktion), diesmal „dröseln“ wir sie jedoch als Folge auf, um uns das Prinzip zu veranschaulichen:

$a_{n}=\sum _{k}^{n}q^{k},q=2$

n=0

$a_{0}=\sum _{k=0}^{0}q^{k}=1$

n=1

$a_{1}=\sum _{k=0}^{1}q^{k}=1+q=3$

n=3

$a_{3}=\sum _{k=0}^{3}q^{k}=1+q+q^{2}+q^{3}=15$

Konvergenz einer Reihe

Lässt man $n$ gegen Unendlich streben, gibt es im Grunde keinen Unterschied zu „normalen Folgen“; es gilt dieselbe Definiton für Konvergenz, bzw. Divergenz. Es gibt allerdings eine Reihe (Wortwitz unbeabsichtigt) von Konvergenzkriterien, die einem das Leben sehr erleichtern. Zur Schreibweise:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{k}^{n}x_{k}=:\sum _{k}^{\infty }x_{k}$

Es sei angemerkt, dass Reihen und ihre Konvergenzen für Ingenieure tatsächlich erst im Komplexen interessant werden (Stichwort Potentzreiehen, Laurentreihe, etc.), daher soll der werte Leser sich nicht daran stören, dass wir in diesem Kapitel mit komplexen Variablen arbeiten.

Wichtige Reihen

Geometrische Reihe

Wir sind ihr schon einige male begegnet. Sie konvergiert für alle $|q|<1,q\in \mathbb {R}$:

$\sum _{k}^{\infty }q^{k}={\frac {1}{1-q}}$

Überlegen Sie sich, ausgehend von der Formel für die endliche Reihe $\textstyle {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}$, wieso die Reihe konvergiert und wieso $\textstyle q<1$ sein muss.

Harmonische Reihe

Sie ist das Paradebeispiel einer divergenten Reihe:

$\sum _{k}^{\infty }{\frac {1}{k}}$

Interessant ist jedoch, dass die Reihe

$\sum _{k}^{\infty }{\frac {1}{k^{s}}}$

für jedes $s$, dass größer als 1 ist, konvergiert. Tatsächlich ist auch jedes gemeint, z.B. auch $s=1,0001$.

Exponentialreihe

Die bekannte und beliebte e-Funktion wird häufig über die sog. Exponentialreihe definiert. Wir werden auf sie und die trigonometrischen Funktionen später im Detail zurückkommen.

$\sum _{k}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k!}}=:\exp(z)=:e^{z}$

Die Reihe konvergiert offensichtlich für jedes komplexe (!) $\textstyle z\in \mathbb {C}$.

Sinus und Cosinus

Auch der Sinus, bzw. Cosinus lassen sich als Reihe darstellen. Sie lässt sich über den Bezug zur komplexen Exponentialfunktion herleiten, siehe das Kapitel über Komplexe Zahlen.

$\sin(z):=\sum _{k}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)!}}$

$\cos(z):=\sum _{k}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}$