Ing Mathematik: Folgen

Folgen stellen das Rückgrat der modernen Analysis und somit auch der Differential- und Intgeralrechnung dar. Auf Ihnen fußt die heute gängige Definition der reellen Zahlen und durch den Begriff der Konvergenz konnte die Infinitessimalrechnung auf ein mathematisch sauberes Gerüst gestellt werden. Wir werden uns in diesem Kapitel mit ihnen beschäftigen, verstehen was Konvergenz bedeutet und uns einige ihrer Eigenschaften anschauen.

Definition

Definition Folge

Eine Folge ist eine Funktion, die den Werten $n\in \mathbb {N}$ im Definitionsbereich eine Zahl $a_{n}\$ im Wertebereich zuordnet. Ist $(a_{n})\subset \mathbb {R}$ so heisst die Folge reelle Folge. Ist $(a_{n})\subset \mathbb {C}$ so heisst die Folge komplexe Folge.

Zur Notation: Spricht man von der Folge an sich, so schreibt normalerweise Klammern: $\textstyle (a_{n}),(a_{n})_{n},(a_{n})_{n\in \mathbb {N} },...$ . Mit einer solchen Notation ist die Menge der Folgenglieder gemeint; schreibt man nur $a_{n}$ , so meint man tatsächlich das n-te Folgenglied.

Beispiele:

a_{n}=n\qquad (a_{n})=\{1,2,3,4,\ldots \}

a_{n}={\frac {1}{n}}\qquad (a_{n})=\{1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},\ldots \}

a_{n}=(-1)^{n}\qquad (a_{n})=\{-1,1,-1,1,\ldots \}

Beschränktheit und Monotonie

Diese Eigentschaften sind recht intuitiv. Sei $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine reelle Folge. Dann gelten folgende Definitionen.

Definition Beschränktheit

Eine Folge ist nach oben beschränkt gdw.

\exists S:\;a_{n}\leq S\quad \forall n\in \mathbb {N}

gilt, also wenn es eine obere Schranke gibt.

Eine Folge ist nach unten beschränkt gdw.

\exists S:\;a_{n}\geq S\quad \forall n\in \mathbb {N}

Eine Folge ist beschränkt gdw.

\left(\exists S_{1}\right)\wedge \left(\exists S_{2}\right):\;\left(a_{n}\geq S_{1}\right)\wedge \left(a_{n}\leq S_{2}\right)\quad \forall n\in \mathbb {N}

oder alternativ

\exists S:\;|a_{n}|\leq S\quad \forall n\in \mathbb {N}

Bemerkung: Jede Zahl, für die die genannten Aussagen gelten, ist eine Schranke. Es handelt sich nicht zwangsläufig um die kleinste obere, bzw. größte untere Schranke!

Beispiele: Die Folge $a_{n}=(-1)^{n}$ ist beschränkt mit der unteren Schranke $S_{1}=-1$ und der oberen Schranke $S_{2}=1$ .

Definition Monotonie

Eine Folge heißt monoton wachsend oder steigend gdw.

a_{n}\leq a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}

also wenn jedes nachfolgende Folgenglied größer oder gleich dem vorherigen (und somit auch größer oder gleich allen vorherigen) ist.

Eine Folge heißt demnach monoton fallend gdw.

a_{n}\geq a_{n+1}\quad \forall n\in \mathbb {N}

Eine Folge heißt streng monoton wachsend (fallend) gdw. jedes Folgenglied echt größer (echt kleiner) als das vorangehende ist.

Beispiele:

a_{n}=n

ist monoton wachsend, sogar streng monoton.

a_{n}={\frac {1}{n}}

ist streng monoton fallend

Konvergenzbegriff

Betrachten wir nun einige Folgen, um sie näher zu untersuchen.

Beispiel 1: Sei $\textstyle a_{n}=n$ . Diese Folge steigt mit größer werdendem $\textstyle n$ , sie ist wie wir festgestellt haben unbeschränkt. Lassen wir $\textstyle n$ gegen Unendlich laufen, so geht auch $\textstyle a_{n}$ gegen Unendlich.
Beispiel 2: Sei $\textstyle a_{n}=(-1)^{n}$ . Was passiert nun, wenn $\textstyle n$ steigt? Die Folge ist zwar beschränkt, springt aberzwischen 1 und -1 hin und her, sie alterniert.
Beispiel 3: Sei $\textstyle a_{n}={\frac {1}{n}}$ . Wir wissen bereits, dass $\textstyle a_{n}$ mit zunehmenden $\textstyle n$ fällt. Die Folge wird jedoch nicht kleiner als 0, denn sie ist nach unten beschränkt. Tatsächlich wird der Abstand des $\textstyle n$ -ten Folgenglieds zur Achse mit immer größer werdenem $\textstyle n$ geringer, kein Folgenglied wird jedoch genau 0. Man sagt: Für $\textstyle n$ gegen Unendlich geht $\textstyle a_{n}$ gegen 0 oder $\textstyle a_{n}$ konvergiert gegen 0.

Doch was heißt Konvergenz genau? Erst seit etwa hundert Jahren hat man eine logisch konsistente Theorie, mit der man die Konvergenz erfasst; davor war es - wie sich der werte Leser momentan wahrscheinlich auch denkt - ein schwammige Intuition im Sinne von „es nähert sich irgendwie beliebig an“. Wir wollen nun die Definition verstehen.

Definition Nullfolge, Konvergenz

Sei $\textstyle (a_{n})$ eine beliebige Folge. $\textstyle (a_{n})$ ist eine Nullfolge gdw. wenn es zu jedem $\textstyle \varepsilon >0$ eine Zahl $\textstyle N_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ gibt, sodaß $\textstyle \left|a_{n}\right|<\varepsilon$ für alle $\textstyle n\geq N_{\varepsilon }$ . Man schreibt

$\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}:=a$ oder
$a_{n}\rightarrow a$ für $n\rightarrow \infty$

und spricht

$\textstyle (a_{n})$ konvergiert gegen 0 oder
$\textstyle a_{n}$ strebt gegen $\textstyle 0$ für $\textstyle n$ gegen Unendlich.

Definition Grenzwert

$\textstyle (a_{n})$ konvergiert gegen einen sog. Grenzwert $\textstyle a$ gdw. die Folge $\textstyle ((a_{n})-a)$ eine Nullfolge ist, also wenn es zu jedem $\textstyle \varepsilon >0$ eine Zahl $\textstyle N_{\varepsilon }\in \mathbb {N}$ gibt, sodaß $\textstyle \left|a_{n}-a\right|<\varepsilon$ für alle $\textstyle n\geq N_{\varepsilon }$ . Der Grenzwert einer Folge ist eindeutig.

Definition Divergenz

Existiert keine Zahl $\textstyle a$ , gegen die $\textstyle (a_{n})$ konvergiert, d.h. hat $\textstyle (a_{n})$ keinen Grenzwert, so divergiert $\textstyle (a_{n})$ . Eine Folge divergiert also gdw. wenn sie nicht konvergiert. Hinweis: Unenedlich ist keine Zahl (zumindest in der Standardanalysis)

Veranschaulichen wir uns diese Definition. Sie besagt im Grunde Folgendes: Man bekommt eine beliebige positive Zahl ( $\varepsilon$ ) vorgegeben und legt sich um den Grenzwert einen sog. Epsilonschlauch. Existiert eine natürliche Zahl $\textstyle N_{\varepsilon }$ derart, dass alle Folgenglieder, die nach dem $\textstyle N_{\varepsilon }$ -ten folgen, innerhalb dieses Schlauches liegen, dann konvergiert die Folge. Genial, oder? Dies muss allerdings für tatsächlich jedes noch so kleine $\varepsilon$ gelten!

Wir betrachten nochmal unsere Beispiele und einige weitere.

$\textstyle a_{n}=n$ divergiert. Geht die Folge gegen Unendlich spricht man auch von der sog. bestimmten Divergenz gegen Unendlich.
$\textstyle a_{n}=(-1)^{n}$ divergiert.
$\textstyle a_{n}={\frac {1}{n}}$ konvergiert mit Grenzwert 0.

Beispiel 4: Sei $\textstyle a_{n}=3$ . Diese Folge konvergiert nach unserer Definition, denn egal wie klein das $\varepsilon$ gewählt wird, die Folgenglieder liegen nicht nur beliebig nah um 3 herum, sondern ab dem ersten Glied sogar auf der 3. Selbiges gilt für jede konstante Folge.
Beispiel 5: Die Folge $\textstyle a_{n}={\frac {(-1)^{n}}{2n}}$ ist eine Nullfolge.

Teilfolgen und Häufungspunkte

Aus der Menge der Bildpunkte einer Folge, kann man Teilmengen bilden. Zu dieser Teilmenge kann man nun eine Folge definieren (wenn auch nicht immer mit einer schönen „elementaren“ Formel), welche auf diese Punkte abbildet.

Definition Teilfolge

Eine Folge $a_{k}$ mit $k\in K$ heisst Teilfolge von $a_{n}$ gdw. $K$ eine unendliche Teilmenge von $\mathbb {N}$ ist.

Beispiel 1: Sei $a_{n}=n$ . Dann ist $b_{k}=a_{2k}=(2,4,8,12,14,\ldots )$ eine Teilfolge von $a_{n}$
Beispiel 2: Sei $a_{n}=n$ . Dann ist $b_{k}=a_{2k-1}=(1,3,5,7,9,\ldots )$ eine Teilfolge von $a_{n}$
Beispiel 3: Sei $a_{n}=(-1)^{n}$ . Dann ist $b_{k}=a_{2k}=(1,1,1,1,\ldots )=1$ eine Teilfolge von $a_{n}$

Beispiel 3 zeigt uns, dass Teilfolgen von divergenten Folgen durchaus konvergieren können.

Definition Häufungspunkt

Sei $(b_{n})$ eine Teilfolge einer beliebigen (konvergenten oder divergenten) Folge $(a_{n})$ . Konvergiert $(b_{n})$ gegen $b$ , so heißt $b$ Häufungspunkt von $(a_{n})$ .

Satz '

Sei $(a_{n})$ eine beliebige Folge. $(a_{n})$ konvergiert gegen $a$ gdw. $a$ der einzige Häufungspunkt von $(a_{n})$ ist. Jede Teilfolge von $(a_{n})$ konvergiert somit auch gegen $a$ .

Die Folge aus Beispiel 3 hat also genau zwei Häufungspunkte 1 und -1. Dem größten und kleinsten Häufungspunkt gibt man spezielle Namen.

Definition Limes Superior, Limes Inferior

Sei $(a_{n})$ eine beliebige Folge. Besitzt $(a_{n})$ mehrere Häufungspunkte, so heisst der größte Häufungspunkt Limes Superior ${\overline {lim}}(a_{n})$ und der kleinste Häufungspunkt Limes Inferior ${\underline {lim}}(a_{n})$ .

Kommen wir zu der Frage, die Ihnen nun sicherlich auf der Zunge brennt (oder auch nicht): Kann ich immer eine konvergente Teilfolge finden? Die Antwort liefert der folgende Satz:

Satz von Bolzano-Weierstraß

Jede beschränkte Folge (egal ob konvergent oder divergent) enthält mindestens eine konvergente Teilfolge.

Rechenregeln

Als Ingenieur sollte man rechnen, und zum rechnen gibt es Regeln. Die Wichtigsten betrachten wir nun.

Satz Addition

Konvergieren $a_{n}$ und $b_{n}$ , so konvergiert auch $\left(a_{n}\pm b_{n}\right)$ und es gilt $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{n}\pm b_{n}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\pm \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}$ .

Satz Multiplikation

Konvergieren $a_{n}$ und $b_{n}$ , so konvergiert auch $\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)$ und es gilt $\lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{n}\cdot b_{n}\right)=\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}\cdot \lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}$ .

Satz Division

Konvergieren $a_{n}$ und $b_{n}$ und gilt $\forall n:\;b_{n}\neq 0,\;lim_{n\rightarrow \infty }b_{n}\neq 0$ so konvergiert auch $\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)$ und es gilt $\lim _{n\rightarrow \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}}{\lim _{n\rightarrow \infty }b_{n}}}$ .

Übungen

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