Kartenprojektionen: Euler-Lagrange Tensor

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Ansatz

Der Cauchy-Green Tensor geht aus der Division der Bogenstücke hervor. Man könnte also sagen er ist "multiplikativ".

Auch aus der "Addition" geht ein Tensor hervor, der Euler-Lagrange Tensor. Er geht aus der Differenz der differentiellen Bogenstücke hervor:

linke Seite:

$ds^{2}-dS^{2}=\mathrm {dU} ^{T}(\mathbf {J} _{L}^{T}\mathbf {G} _{R}\mathbf {J} _{L}-\mathbf {G} _{L})\mathrm {dV}$

rechte Seite:

$dS^{2}-ds^{2}=\mathrm {du} ^{T}(\mathbf {J} _{R}^{T}\mathbf {G} _{L}\mathbf {J} _{R}-\mathbf {G} _{R})\mathrm {dv}$

Wie immer stehen Großbuchstaben für das Urbild, Kleinbuchstaben für das Abbild.

Wie üblich nutzen wir nicht den differentialen Zusammenhang sondern stellen einen Tensor auf.

Definition: Euler-Lagrange Tensor
Linke Seite: $\mathbf {E} _{L}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {J} _{L}^{T}\mathbf {G} _{R}\mathbf {J} _{L}-\mathbf {G} _{L}\right)$ Rechte Seite: $\mathbf {E} _{R}={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {G} _{R}-\mathbf {J} _{R}^{T}\mathbf {G} _{L}\mathbf {J} _{R}\right)$

Praktischer Nutzen und Berechnung

"Wieso noch ein Tensor?" mag sich manche/r fragen. Weil die zu E gehörenden Eigenwerte anzeigen, ob es sich um eine Dehnung oder Stauchung handelt. Dazu gleich mehr. Zunächst die Berechnung der Eigenwerte:

Berechnung der extremalen Verzerrungen nach dem Euler-Lagrange Tensor

Wichtig !!! Im Gegensatzsatz zu dem Hauptverzerrungsbeträgen nach Cauchy-Green ergibt sich nicht das Quadrat der Verzerrung sondern gleich die Verzerrung. Dies liegt daran, dass das Ergebnis der Formel auch negativ sein kann (und soll!). $\kappa _{1,2}={\frac {1}{2}}\left(\mathrm {tr} \left(\mathbf {E} \mathbf {G} ^{-1}\right)\pm {\sqrt {\mathrm {tr} \left(\mathbf {E} \mathbf {G} ^{-1}\right)^{2}-4\mathrm {det} \left(\mathbf {E} \mathbf {G} ^{-1}\right)}}\right)$

Die Formel ist gleich für links wie rechts. Deswegen sind die Indizees weggelassen. Beim Zeichnen von Verzerrungsellipsen muss aus positiven κ die Wurzel gezogen werden.

Bedeutung:

Ist κ positiv, handelt es sich um eine Dehnung, Bei negativen κ liegt Stauchung vor.

Zusammenhang der Eigenwerte bezüglich Cauchy-Green bzw. Euler-Lagrange
$2\kappa _{1}=\lambda _{1}^{2}-1$ $2\kappa _{2}=\lambda _{2}^{2}-1$

Dies gilt links wie rechts.

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