Kartenprojektionen: Verzerrungen der Parameterlinien

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Mit den Metriken gewinnen wir einen Quotienten der ersten Fundamentalform , mit dem wir etwas anfangen können. Statt der Bezeichnung E,F,G verwenden wir die Bezeichnung für Tensorelemente. unser Ergebnis bezeichnen wir als Quadrat von .

Abbildungseigenschaften entlang der Parameterlinien[Bearbeiten]

Wir können jetzt in jedem Punkt die Streckenverzerrung längs der Parameterlinien bestimmen. Dies funktioniert, da bei V=const dv=0 ist. Damit kürzt sich das übrige dU weg und wir erhalten einen numerischen Wert. Dies gilt analog auch für U.

Verzerrungen[Bearbeiten]

Gemäß der Definition der Parameterlinien ist bei der U-Parameterlinie V konstant. Wir erhalten das Verzerrungsmaß in Richtung der U-Parameterlinien.

V-Parameterlinie

Beispiel für Verzerrungen[Bearbeiten]

Im Beispiel sind die Verzerrungen

,


Bei der Berechnung von λV2 sind viele Zwischenschritte ausgelassen. Die Umformung gelingt durch vielfache Nutzung der Trigonometrischen Zusammenhänge. Hilfe gibt es in der Formelsammlung Trigonometrie der Wikipedia.

Streckentreue ,Winkeltreue und Flächentreue[Bearbeiten]

Die Verzerrung ist ein Verhältniswert. Es geht um das Verhältnis der Strecke im Urbild zum Abbild. Hier können wir nur für Bogenstücke längs der Parameterlinien Verzerrungseigenschaften angeben, nicht für jedes beliebig gerichtete Bogenstück.

Beurteilung des Beispiels[Bearbeiten]

  • λU und λV können, müssen aber nicht die extremalen Verzerrungen sein. Wann Sie es sind, lernen wir auf der nächsten Seite.
  • Streckentreue auf den Parameterlinien liegt vor für λ =1. Dies ist hier in keinem Fall gegeben.
    • Auf den U-Parameterlinien ist die Verzerrung überall gleich, da die Verzerrung nur von V abhängt, welches hier konstant ist.
    • Auf den V-Parameterlinien wird die Verzerrung für V gegen π halbe unendlich groß.
  • Ist die Verzerrung jeweils in einem Punkt in jede Richtung gleich, liegt Winkeltreue vor. Das bedeutet die Verzerrungen müssen bezüglich eines Punktes P1 oder P2 gleich sein. Die Verzerrung von P1 darf sich durchaus von P2 unterscheiden!
  • Im Beispiel ist λU = λV für jeden Punkt P(U,V) erfüllt. Die Abbildung ist winkeltreu.
  • Für würde Flächentreue vorliegen. Dem ist hier nicht so.

Definition der Verzerrungen[Bearbeiten]


Definition Streckentreue, Winkeltreue und Flächentreue

Es liegt

  • Isometrie, d.h alles treu (manchmal auch mit Streckentreue bezeichnet)
  • Äquidistanz
  • Winkeltreue
  • Flächentreue

bezüglich der Parameterlinien vor für

  • ,
  • in allen Punkten P(U,V)

und

  • Isometrie
  • Äquidistanz
  • Winkeltreue
  • Flächentreue

für die gesamte Abbildung, wenn und die extremalen Verzerrungen sind.


Das Isometrie alle anderen Treueeigenschaften beinhaltet, folgt aus der Bedingung λUV=1.

Es ist wünschenswert, die Verzerrungen für alle Richtungen zu kennen, oder am besten in jedem Punkt die extremalen Verzerrung (Hauptverzerrungen) zu kennen. Wir entwickeln das auf der nächsten Seite.

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