Komplex-differenzierbare Funktionen/ Definition der komplexen Differenzierbarkeit

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Definition (komlexe Differenzierbarkeit für univariate Funktionen):

Es sei eine Teilmenge und eine Funktion. Diese Funktion heißt komplex differenzierbar oder auch kurz holomorph genau dann, wenn der Limes

für jedes existiert. ist dabei eine kleine komplexe Zahl.

Definition (komplexe Differenzierbarkeit):

Es seien , und eine Funktion. Dann sagt man, dass komplex differenzierbar oder holomorph ist, genau dann, wenn für jedes , jedes und für alle festen Konstanten die Funktion

dort, wo sie definiert ist, als univariate Funktion holomorph ist. Hierbei ist die -te Komponente von .

Definition (ganze Funktion):

Eine holomorphe Funktion , die also eindimensional, auf der ganzen komplexen Ebene definiert und holomorph ist, nennt man eine ganze Funktion.