Komplex-differenzierbare Funktionen/ Definition der komplexen Differenzierbarkeit

Definition (komplexe Differenzierbarkeit für univariate Funktionen):

Es sei $S \subseteq ℂ$ eine Teilmenge und $f : S \to ℂ$ eine Funktion. Diese Funktion heißt komplex differenzierbar oder auch kurz holomorph genau dann, wenn der Limes

lim_{h \to 0} \frac{f (z + h) - f (z)}{h}

für jedes $z \in ℂ$ existiert. $h$ ist dabei eine kleine komplexe Zahl.

Definition (komplexe Differenzierbarkeit):

Es seien $n, m \in ℕ$ , $S \subseteq ℂ^{n}$ und $f : S \to ℂ^{m}$ eine Funktion. Dann sagt man, dass $f$ komplex differenzierbar oder holomorph ist, genau dann, wenn für jedes $j \in {1, \dots, n}$ , jedes $k \in {1, \dots, m}$ und für alle festen Konstanten $c_{1}, c_{2}, \dots, c_{j - 1}, c_{j + 1}, c_{j + 2}, \dots, c_{n} \in ℂ$ die Funktion

z \mapsto f_{k} (c_{1}, \dots, c_{j - 1}, z, c_{j + 1}, \dots, c_{n})

dort, wo sie definiert ist, als univariate Funktion holomorph ist. Hierbei ist $f_{k}$ die $k$ -te Komponente von $f$ .

Definition (ganze Funktion):

Eine holomorphe Funktion $f : ℂ \to ℂ$ , die also eindimensional, auf der ganzen komplexen Ebene definiert und holomorph ist, nennt man eine ganze Funktion.