𝕯𝖎𝖊 𝕮𝖆𝖚𝖈𝖍𝖞‒𝕽𝖎𝖊𝖒𝖆𝖓𝖓-𝕲𝖑𝖊𝖎𝖈𝖍𝖚𝖓𝖌𝖊𝖓

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Satz (Cauchy‒Riemann-Gleichungen in einer Variablen):

Es sei eine offene Teilmenge und es sei eine Funktion, die aufgefasst als Funktion (wobei der Imaginär- und Realteil einer komplexen Zahl als die zwei Koordinaten verstanden werden) stetig differenzierbar ist. Dann ist genau dann holomorph, wenn es die zwei sog. Cauchy‒Riemannschen Differenzialgleichungen, die lauten

und ,

erfüllt.

Beweis: Es sei zunächst holomorph. Es existiert also der Limes

,

egal wie sich in der Null nähert; z. B. könnte sich der Null auf der x-Achse oder der y-Achse nähern. Nennen wir diesen Limes einmal mit . Es gilt also insbesondere

und ,

wobei nun . Dies sind aber gerade die Richtungsableitungen von , und durch Nehmen der Real- bzw. Imaginärteile auf beiden Seiten und anschließendes Gleichsetzen mit bzw. erhalten wir die Cauchy‒Riemann-Gleichungen.

Umgekehrt erfülle die Cauchy‒Riemannschen Differenzialgleichungen. Da als Funktion stetig differenzierbar ist, ist nach einem Grundsatz der reellen Analysis das Differenzial von in gleich der linearen Abbildung, die durch die Matrix

gegeben ist. Wir fügen nun die Cauchy‒Riemann-Gleichungen ein und setzen, um die Notation zu vereinfachen, und . Somit gilt also, unter Verwendung der häufig gebrauchten Landau-Notation,

.

Aber kann durch die komplexe Multiplikation auch als geschrieben werden, wobei und . Deswegen gilt

.