Komplex-differenzierbare Funktionen/ Satz von Cauchy für Sterngebiete und Cauchy-Formel

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Definition (Sterngebiet):

Eine Teilmenge der komplexen Ebene heißt Sterngebiet genau dann, wenn es die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

  1. ist offen, und
  2. es gibt einen Punkt in , sodass für jeden anderen Punkt die Gerade vollständig in liegt.

Lemma (Goursat‒Pringsheim):

Es sei , holomorph und ein Dreieck in mit den Ecken . Dann gilt

,

wobei der Rand des Dreiecks entgegen dem Urzeigersinn oder im Urzeigersinn durchlaufen wird.

Beweis: Wir zerteilen das Dreieck in vier neue Dreiecke, indem wir alle Seiten von halbieren und die entstandenen, halbierenden Punkte als die neuen Punkte von vier Dreiecken nehmen, wie in folgender Abbildung gezeigt:

Wikipedia hat einen Artikel zum Thema:

Triangle-partition.svg

Unter den vier neu entstandenen Dreiecken wählen wir eins aus, welches wir nennen. Dies machen wir, indem wir dasjenige neue Dreieck wählen, für welches der Wert

am größten ist (wenn es verschiedene solche Dreiecke gibt, die den größten Wert geben, so suchen wir uns ein beliebiges aus). Diesen Vorgang wenden wir dann auf an; heraus kommt ein neues Dreieck, nämlich , welches nun nur noch ein Sechzehntel des Flächeninhalts des ursprünglichen Dreiecks hat.

Indem wir immer so weiter verfahren, erhalten wir eine Folge von Dreiecken . All diese Dreiecke sind kompakt, denn sie sind abgeschlossen und beschränkt. Nach dem Cantorschen Schnittmengensatz ist die Schnittmenge all der Dreiecke folglich nichtleer. Daher gibt es einen Punkt

.

Da der Durchmesser der Dreiecke gegen Null tendiert und außerdem der zugrundeliegende Raum Hausdorffsch ist, ist dieser Punkt auch der einzige in dieser Schnittmenge. Wegen der komplexen Differenzierbarkeit von wissen wir schon:

.

Es gilt nun für jedes , da sich der Umfang des Dreieckes bei jedem Zerteilen halbiert:

Jetzt muss man nur noch ausrechnen, dass die zwei Integrale in letzterem Ausdruck verschwinden und ist, wobei der Durchmesser des ursprünglichen Dreiecks ist, um den Satz zu erhalten.