Komplex-differenzierbare Funktionen/ Singularitäten und Laurent-Entwicklung

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Satz (Casorati‒Weierstraß):

Es sei eine offene Teilmenge von , und eine holomorphe Funktion, die in eine wesentliche Singularität habe. Dann ist dicht in .

Beweis: Angenommen, wäre nicht dicht in . Dann gäbe es ein und ein , sodass wäre. Dann wäre aber die Funktion von Null weg beschränkt, und daher die reziproke Funktion nach dem Riemannschen Hebbarkeitssatz auf ganz holomorph. Aber dann wäre die Funktion auf als Translation einer Umkehrfunktion einer meromorphen Funktion selbst meromorph und hätte insb. keine wesentliche Singularität in .