Komplex-differenzierbare Funktionen/ Struktur einer holomorphen Abbildung in einem Gebiet

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Definition (Gebiet):

Ein Gebiet ist eine offene und zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes.

Satz (Identitätssatz):

Es sei ein Gebiet, und es seien zwei Funktionen darauf. Wenn die Menge einen ω-Häufungspunkt hat, dann gilt sogar .

Beweis: Wir definieren

.

Diese Menge ist abgeschlossen, denn wenn ist, dann enthält jede offene Umgebung von ein Element aus , von welchem dann auch eine Umgebung ist, weshalb ω viele Elemente aus enthält.

Die Menge ist aber auch offen, denn falls ist, so hat eine Potenzreihenentwicklung um . Sei nun minimal, sodass der -te Koeffizient dieser Potenzreihenentwicklung von Null verschieden ist. Dann ist eine holomorphe Funktion, die wegen ihrer Stetigkeit in einer Umgebung von nicht verschwindet. Dann ist aber auch in nicht Null, ein Widerspruch dazu, dass ist.

Weil zusammenhängend ist, gilt daher . Aber wegen der Stetigkeit von gilt für alle .

Satz (Satz von Hartogs):

Es seien und zwei positive Vektoren von Dimension , sodass bezüglich der strikten punktweisen Teilordnung gilt . Ferner sei holomorph. Dann lässt sich holomorph in den ganzen Polykreis fortsetzen.

Beweis: Es seien so, dass für alle . Es genügt, für alle solche die Funktion

auf fortzusetzen (und dann natürlich zu beweisen, dass das Resultat auch holomorph in allen Variablen ist). Dies geht wie folgt: Zunächst ist ja die Funktion, unabhängig, welchen Betrag die haben, auf dem Annulus definiert. Darum hat sie eine Laurententwicklung, deren Koeffizienten nach der Leibnizregel für Parameterintegrale alle holomorph von abhängen. Ist aber , so verschwinden alle negativen Koeffizienten dieser Entwicklung, und aufgrund des Identitätssatzes verschwinden diese Koeffizienten auch, wenn ist. Also ist die Laurententwicklung in Wahrheit eine Potenzreihenentwicklung, und diese ist überall definiert und holomorph.