Komplex-differenzierbare Funktionen/ Struktur einer holomorphen Abbildung nahe einem bestimmten Punkt

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Satz (Analytizität eindimensionaler holomorpher Funktionen):

Es sei offen und holomorph. Es sei ferner . Wenn dann die abgeschlossene Kreisscheibe in enthalten ist, so gibt es eine Potenzreihenentwicklung

(wobei die gewisse Konstanten sind, siehe unten),

die in konvergiert. Überdies gelten die Formeln

.

Beweis: Die Cauchy-Integralformel besagt, dass

.

Da aber in dieser Situation ist, wissen wir, dass die geometrische Reihe

konvergiert. Dies hilft uns, denn es gilt

.

Wir setzen dies nun in die Cauchyformel ein und erhalten aus dem Satz von Fubini‒Tonelli, dass

.

Satz (Satz von Liouville in einer Dimension):

Sei eine ganze Funktion, und sei , sodass (in Bachmann-Notation) für ist. Dann ist ein Polynom vom Grad .

Beweis: Da holomorph auf ganz ist, können wir es in eine Potenzreihe um Null entwickeln, die auf der ganzen komplexen Zahlenebene konvergiert:

, wobei .

Es sei nun . Dann gilt, da die Integralformeln für die Koeffizienten der Potenzreihe von für alle richtig sind:

für hinreichend groß,

wobei die Konstante aus der Bachmann-Notation ist. Setzt man die Formel für den Umfang eines Kreises des Radius ein und benutzt, dass , so erhält man

.

Da dies für alle gilt, ist der Satz bewiesen.

Satz (Riemannscher Hebbarkeitssatz):

Es sei eine Teilmenge der komplexen Zahlenebene, und es sei ein Punkt. Ferner sei eine holomorphe Funktion. Wenn es eine offene Umgebung von gibt, auf welcher beschränkt ist, dann kann holomorph auf ganz erweitert werden.

Beweis: Wir betrachten die Funktion

,

die also auf ganz definiert ist. ist holomorph, denn

.

Da sehen wir gleich, dass auch die Ableitung von in Null verschwindet, sodass die Potenzreihe von erst beim -Glied anfängt, weshalb die Funktion

,

die ja in der ganzen Menge definiert ist, auch holomorph ist. Dies ist also die gewünschte Fortsetzung von .