Komplexe Zahlen/ Quadratische Gleichungen

Zur Einführung der komplexen Zahlen hatten wir eine Lösung der folgenden Gleichung konstruiert:

$x^{2}=-1$

Aufbauend auf den Grundrechenarten für komplexe Zahlen befassen wir uns jetzt grundsätzlicher mit quadratischen Gleichungen.

Allgemeine Form

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:

$ax^{2}+bx+c\;=\;0\qquad {\text{mit}}\quad a\neq 0$

Dafür werden folgende Bezeichnungen verwendet:

• $a,b,c$ werden Koeffizienten genannt.
• $ax^{2}$ heißt quadratisches Glied.
• $bx$ ist das lineare Glied und
• $c$ das konstante Glied oder auch Absolutglied der Gleichung.

Die Gleichung ist in Normalform, wenn $a=1$ gilt, also wenn das quadratische Glied den Koeffizienten 1 hat. Aus der allgemeinen Form lässt sich die Normalform gewinnen, indem durch $a$ dividiert wird. Damit lässt sich die Normalform (mit den üblichen Variablen) so schreiben:

$x^{2}+px+q\;=\;0$

Im Folgenden gehen wir der Einfachheit halber von $a=1$ aus, behandeln quadratische Gleichungen also immer in der Normalform.

Eine andere Formulierung für die Suche nach den Lösungen einer quadratischen Gleichung lautet: Gesucht werden die Nullstellen für ein (normiertes) Polynom zweiten Grades:

$P(x)\;=\;x^{2}+px+q$

Reelle Koeffizienten

Beginnen wir mit reellen Zahlen als Koeffizienten, also $p,q\in \mathbb {R}$. Mit den bekannten Gleichungsumformungen (Subtraktion, quadratische Ergänzung, binomische Formel, Wurzel, erneute Subtraktion) erhalten wir die Lösungen der quadratischen Gleichung in Normalform:

${\begin{aligned}x^{2}+px+q\;&=\;0\\x^{2}+px\;&=\;-q\\x^{2}+px+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\;&=\;\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q\\\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}\;&=\;\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q\\x_{1,2}+{\frac {p}{2}}\;&=\;\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}\\x_{1,2}\;&=\;-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}\\x_{1,2}\;&=\;-{\frac {p}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}-4q}}\end{aligned}}$

Das ist die bekannte Lösungsformel (genauer: eine der üblichen Schreibweisen) für quadratische Gleichungen; der Term unter der Wurzel wird Diskriminante D genannt. Der Wert von D entscheidet über Anzahl und Art der Lösungen:

• Diskriminante positiv: In diesem Fall gibt es zwei verschiedene (reelle) Werte für die Wurzel und folglich zwei verschiedene Lösungen $x_{1},\;x_{2}\!$.
• Diskriminante gleich Null: In diesem Fall liefert auch die Wurzel den Wert Null, es gibt also nur eine Lösung $-{\tfrac {p}{2}}$. Man sagt jedoch aus Gründen der Symmetrie (auch der späteren Anwendungen wegen), dass die Gleichung zwei gleiche Wurzeln oder eine Doppelwurzel habe.
• Diskriminante negativ: In diesem Fall gibt es keine reellen Lösungen. Lässt man aber komplexe Zahlen als Grundmenge für die Lösungen zu, erhält man zwei verschiedene komplexe Lösungen. Diese sind zueinander konjugiert, das heißt, sie haben den gleichen Realteil und ihre Imaginärteile unterscheiden sich nur durch das Vorzeichen.

Für die letzte Aussage können wir einfach die Lösungsformel ergänzen:

${\begin{aligned}x_{1,2}\;&=\;-{\frac {p}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}-4q}}\\&=\;-{\frac {p}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {(4q-p^{2})\cdot (-1)}}\\&=\;-{\frac {p}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {4q-p^{2}}}\cdot \mathrm {i} \end{aligned}}$

Komplexe Koeffizienten

Betrachtet man die Normalform der quadratischen Gleichung mit $p,q\in \mathbb {C}$, also mit komplexen Koeffizienten, kann man die Lösungen in der gleichen Weise mit Gleichungsumformungen (vor allem der quadratischen Ergänzung) finden: Sämtliche Umformungen benutzen Rechenregeln, die bei den komplexen Zahlen genauso gelten. Damit gilt die bekannte Lösungsformel auch im Bereich der komplexen Zahlen:

${\begin{aligned}x^{2}+px+q\;&=\;0\qquad {\text{mit}}\quad p,q\in \mathbb {C} \qquad {\text{ergibt folgende Lösungen:}}\\x_{1,2}\;&=\;-{\frac {p}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}-4q}}\end{aligned}}$

Im Einzelfall erhält man auf diese Weise die Lösungen. Allerdings bleiben Unklarheiten:

• Es wird meistens die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl (der Diskriminante) benötigt; die Grundrechenarten genügen also nicht.
• Weil sich die komplexen Zahlen nicht anordnen lassen, sind Aussagen wie „Diskriminante positiv“ nicht möglich.

Im vorigen Kapitel (siehe auch Übung 9) wurde festgestellt, dass es zu einer komplexen Zahl (ungleich Null) immer zwei Quadratwurzeln gibt, wobei sich Realteile und Imaginärteile nur durch die Vorzeichen unterscheiden. Daraus ergibt sich, dass eine quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten immer zwei komplexe Lösungen hat. Falls die Diskriminante gleich Null ist, fallen diese Lösungen zusammen.

Beispiel: Gegeben ist die komplexe Gleichung

$x^{2}+(12-4\,\mathrm {i} )\cdot x+(-13+84\,\mathrm {i} )\;=\;0$

Nach der Formel erhält man folgende Lösungen:

${\begin{aligned}x_{1,2}\;&=\;-{\frac {12-4\,\mathrm {i} }{2}}\pm {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {(12-4\,\mathrm {i} )^{2}-4\cdot (-13+84\,\mathrm {i} )}}\\&=\;-6+2\,\mathrm {i} \pm {\frac {1}{2}}\cdot {\sqrt {4\cdot (6-2\,\mathrm {i} )^{2}-4\cdot (-13+84\,\mathrm {i} )}}\\&=\;-6+2\,\mathrm {i} \pm {\sqrt {36-24\,\mathrm {i} -4+13-84\,\mathrm {i} }}\\&=\;-6+2\,\mathrm {i} \pm {\sqrt {45-108\,\mathrm {i} }}\\&=\;-6+2\,\mathrm {i} \pm 3\cdot {\sqrt {5-12\,\mathrm {i} }}\\\end{aligned}}$

Um hier die Wurzel zu ziehen, müssen wir $d=5-12\,\mathrm {i}$ (eine Zahl im 4. Quadranten) zunächst in die Polarform umwandeln und erhalten nach den Umrechnungsregeln:

${\begin{aligned}{\text{Betrag:}}\quad &r\;=\;13\qquad {\text{(5, 12, 13 sind pythagoreische Zahlen)}}\\{\text{Argument:}}\quad &\varphi \;=\;\arctan {\tfrac {12}{5}}\;\approx \;360^{\circ }-67{,}38^{\circ }\;=\;292{,}62^{\circ }\end{aligned}}$

Nach Moivre ergeben sich für die erste Quadratwurzel folgende Werte:

${\begin{aligned}{\text{Betrag:}}\quad &r_{1}\;=\;{\sqrt {13}}\\{\text{Argument:}}\quad &\varphi _{1}\;\approx \;146{,}31^{\circ }\\&\sin \varphi _{1}\;\approx \;0{,}55\qquad {\text{sowie}}\qquad \cos \varphi _{1}\;\approx \;-0{,}83\end{aligned}}$

Jetzt können wir die Lösungsformel weiter auswerten:

${\begin{aligned}x_{1}\;&\approx \;-6+2\,\mathrm {i} +3\cdot {\sqrt {13}}\cdot (-0{,}83+0{,}55\,\mathrm {i} )\\&\approx \;-6+2\,\mathrm {i} -8{,}97+5{,}95\,\mathrm {i} \\&=\;-14,97+7,95\,\mathrm {i} \\x_{2}\;&\approx \;-6+2\,\mathrm {i} -3\cdot {\sqrt {13}}\cdot (-0{,}83+0{,}55\,\mathrm {i} )\\\;&\approx \;-6+2\,\mathrm {i} +8{,}97-5{,}95\,\mathrm {i} \\&=\;+2{,}97-3{,}95\,\mathrm {i} \end{aligned}}$

Warum die zweite Quadratwurzel von d nicht benötigt wird, wird als Übung 3 besprochen.

Hinweis: Die wiederholten Näherungswerte führen zu deutlichen Ungenauigkeiten. Die Lösungen sollten eigentlich $\;x_{1}=-15+8\,\mathrm {i} \quad {\text{sowie}}\quad x_{2}=3-4\,\mathrm {i} \;$ lauten, wie im folgenden Abschnitt erwähnt wird.

Linearfaktoren

Mit den Nullstellen eines Polynoms zweiten Grades (also den Lösungen $x_{1}{,}x_{2}$ einer quadratischen Gleichung) kann man es in seine Linearfaktoren $\;x-a_{n}\;$ zerlegen:

$0\;=\;x^{2}+px+q\;=\;(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})$

Der Beweis erfolgt einfach durch Einsetzen der Lösungsformel (siehe Übung).

Multiplizieren wir außerdem die Klammern in der vorstehenden Beziehung aus:

${\begin{aligned}x^{2}+px+q\;&=\;(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\\&=\;x^{2}-(x_{1}+x_{2})\,x+x_{1}x_{2}\end{aligned}}$

Durch Koeffizientenvergleich erhält man die folgenden Beziehungen, die als Satz von Vieta bekannt sind:

$x_{1}+x_{2}\;=\;-p\qquad {\text{sowie}}\qquad x_{1}\cdot x_{2}\;=\;q$

Diese Beziehungen haben drei wichtige Anwendungen:

• Im Reellen kann man bei ganzzahligen Koeffizienten unter Umständen durch „scharfes Hinsehen“ die Lösungen einfach bestimmen.

• Es können Gleichungssysteme der folgenden Form gelöst werden:

${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}\;&=\;-p\\x_{1}\cdot x_{2}\;&=\;q\end{aligned}}$

• Es können quadratische Gleichungen zu vorgegebenen Lösungen konstruiert werden. Auf diese Weise ist das oben berechnete Beispiel erstellt worden. Die Lösungen $\;x_{1}=-15+8\,\mathrm {i} \quad {\text{und}}\quad x_{2}=3-4\,\mathrm {i} \;$ liefern folgende Gleichung:

${\begin{aligned}0\;&=\;x^{2}-(-15+8\,\mathrm {i} +3-4\,\mathrm {i} )\cdot x+(-15+8\,\mathrm {i} )\cdot (3-4\,\mathrm {i} )\\&=\;x^{2}-(-12+4\,\mathrm {i} )\cdot x+(-45+24\,\mathrm {i} +60\,\mathrm {i} +32)\\&=\;x^{2}+(12-4\,\mathrm {i} )\cdot x+(-13+84\,\mathrm {i} )\end{aligned}}$

Übungen

Aufgaben

Übung 1

Existenz von Lösungen

Zur Lösung

Bei der Lösungsformel für eine quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten heißt es: „Es wird meistens die Quadratwurzel aus einer komplexen Zahl (der Diskriminante) benötigt.“ Unter welcher Voraussetzung wird eine solche Quadratwurzel nicht benötigt?

Übung 2

Lösungen berechnen

Zur Lösung

Bestimme die Lösungen zur folgenden Gleichung:

$x^{2}+(\mathrm {i} +1)\,x+\mathrm {i} \;=\;0$

Übung 3

Lösungen und Wurzeln

Zur Lösung

Beim obigen Beispiel für eine quadratische Gleichung mit komplexen Koeffizienten wird nur die erste komplexe Quadratwurzel verwendet. Warum wird die zweite Wurzel nicht benötigt?

Übung 4

Linearfaktoren

Zur Lösung

Bestätige die folgende Beziehung für die Lösungen $x_{1,2}$ einer quadratischen Gleichung:

$x^{2}+px+q\;=\;(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})$

Lösungen

Lösung zu Übung 1

Existenz von Lösungen

Zur Übung

Wenn die Diskriminante gleich Null ist, ist auch die Wurzel gleich Null; beide Lösungen fallen also zusammen. Wenn die Diskriminante eine reelle Zahl und positiv ist, sind auch die komplexen Quadratwurzeln reelle Zahlen. In allen anderen Fällen werden komplexe Quadratwurzeln benötigt.

Lösung zu Übung 2

Lösungen berechnen

Zur Übung

${\begin{aligned}x_{1,2}\;&=\;-{\frac {\mathrm {i} +1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathrm {i} +1)^{2}-4\,\mathrm {i} }}\\&=\;-{\frac {\mathrm {i} +1}{2}}\pm {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathrm {i} -1)^{2}}}\qquad {\text{also:}}\\x_{1}\;&=\;-{\frac {\mathrm {i} +1}{2}}+{\frac {\mathrm {i} -1}{2}}\;=\;-1\\x_{2}\;&=\;-{\frac {\mathrm {i} +1}{2}}-{\frac {\mathrm {i} -1}{2}}\;=\;-\mathrm {i} \end{aligned}}$

Lösung zu Übung 3

Lösungen und Wurzeln

Zur Übung

Die erste Lösung der Gleichung erhält man, indem die erste Quadratwurzel mit dem positiven Vorzeichen bei $\pm$ verknüpft wird.

Die zweite Lösung der Gleichung erhält man, indem die erste Quadratwurzel mit dem negativen Vorzeichen bei $\pm$ verknüpft wird.

Die zweite Quadratwurzel ergibt sich aus der ersten Quadratwurzel durch Vorzeichenwechsel. Die Verknüpfung mit dem positiven Vorzeichen ist also gleichbedeutend mit der zweiten Lösung; die Verknüpfung mit dem negativen Vorzeichen entspricht der ersten Lösung.

Lösung zu Übung 4

Linearfaktoren

Zur Übung

Der Beweis erfolgt, indem (wie angegeben) für $x_{1}{,}\;x_{2}$ die Lösungsformel eingesetzt wird:

${\begin{aligned}(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\;&=\;\left(x-\left(-{\frac {p}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\right)\cdot \left(x-\left(-{\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\right)\\&=\;\left(x+{\frac {p}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\cdot \left(x+{\frac {p}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {p^{2}-4q}}\right)\\&=\;\left(x+{\frac {p}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}\cdot \left(p^{2}-4q\right)\\&=\;x^{2}+px+{\frac {p^{2}}{4}}-{\frac {p^{2}}{4}}+q\;=\;x^{2}+px+q\end{aligned}}$