Lineare Algebra: Eigenwertprobleme: Das charakteristische Polynom

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Ist $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum, so heißt $\mathrm {X} _{f}:K\rightarrow K,\lambda \mapsto \det \left(f-\lambda \cdot \mathrm {id} \right)$ das charakteristische Polynom des Endomorphismus $f:V\rightarrow V$.

Die Eigenwerte von $f$ sind genau die Nullstellen des charakteristischen Polynoms, denn:

$\det \left(f-\lambda \cdot \mathrm {id} \right)=0$

$\Leftrightarrow$ $f-\lambda \cdot \mathrm {id}$ ist nicht Injektiv.

$\Leftrightarrow$ Der Kern von $f-\lambda \cdot \mathrm {id}$ ist nicht null.

$\Leftrightarrow$ Es gibt ein $v\in V\setminus \left\{0\right\}$ mit $f(v)-\lambda \cdot \mathrm {id} (v)=0$.

$\Leftrightarrow$ Es gibt ein $v\in V\setminus \left\{0\right\}$ mit $f(v)=\lambda \cdot v$

$\Leftrightarrow$ Es gibt einen Eigenvektor $v\in V\setminus \left\{0\right\}$ von $f$ zum Eigenwert $\lambda$.