Lineare Algebra: Eigenwertprobleme: Eigenwerte und Eigenvektoren

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Definition

Sei $V$ ein Vektorraum über einem Körper $K$ und sei $F:V\rightarrow V$ ein Endomorphismus. Dann heißt $\lambda \in K$ Eigenwert von $F$ genau dann, wenn es ein $x\in V$ mit $x\neq 0$ gibt, so dass $F(x)=\lambda x$. Dann heißt $x$ Eigenvektor von $F$ zum Eigenwert $\lambda$. Die Menge $\mathrm {Eig} (F,\lambda )$ aller $x\in V$, die die Gleichung $F(x)=\lambda x$ Erfüllen, heißt Eigenraum von $F$ zum Eigenwert $\lambda$.

Analog definiert man Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume quadratischer Matrizen, indem man diese vermöge der Multiplikation als Endomorphismen des $K^{n\times n}$ auffasst.

Offensichtlich sind Eigenräume Unterräume, denn für $\alpha \in K$ und $v,w\in Eig(F,\lambda )$ gilt auch:

• $F(v+w)=F(v)+F(w)=\lambda v+\lambda w=\lambda (v+w)$, also $v+w\in Eig(F,\lambda )$
• $F(\alpha x)=\alpha F(x)=\alpha \lambda x=\lambda (\alpha x)$, also $\alpha x\in Eig(F,\lambda )$

Berechnung der Eigenwerte

Nun stellt sich die Frage, wie man die Eigenwerte berechnet. Sprich es ist eine Lösung der Gleichung $F(x)=\lambda x$ gesucht.
$F(x)=\lambda x\Leftrightarrow$
$(F-\lambda \cdot id)x=0\Leftrightarrow$ $det(F-\lambda \cdot id)=0$
Nun erkennt man, dass die Eigenwertbestimmung auf die Berechnung einer Determinanten zurückgeführt wurde. Genauer gesagt, muss man die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms berechen:
$P(\lambda )=(-1)^{n}\lambda ^{n}+(-1)^{n-1}spur(F)\lambda ^{n-1}+\cdots +det(A)\lambda ^{0}$

Um die Eigenvektoren zu einem Eigenwert, also den Eigenraum $Eig(F,\lambda )$ zu bestimmen, berechnet man $Ker(F-\lambda id)$ .