Lineare Algebra: Eigenwertprobleme: Eigenwerte und Eigenvektoren

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Definition[Bearbeiten]

Sei ein Vektorraum über einem Körper und sei ein Endomorphismus. Dann heißt Eigenwert von genau dann, wenn es ein mit gibt, so dass . Dann heißt Eigenvektor von zum Eigenwert . Die Menge aller , die die Gleichung Erfüllen, heißt Eigenraum von zum Eigenwert .

Analog definiert man Eigenwerte, Eigenvektoren und Eigenräume quadratischer Matrizen, indem man diese vermöge der Multiplikation als Endomorphismen des auffasst.

Offensichtlich sind Eigenräume Unterräume, denn für und gilt auch:

  • , also
  • , also

Berechnung der Eigenwerte[Bearbeiten]

Nun stellt sich die Frage, wie man die Eigenwerte berechnet. Sprich es ist eine Lösung der Gleichung gesucht.


Nun erkennt man, dass die Eigenwertbestimmung auf die Berechnung einer Determinanten zurückgeführt wurde. Genauer gesagt, muss man die Nullstellen des Charakteristischen Polynoms berechen:

Um die Eigenvektoren zu einem Eigenwert, also den Eigenraum zu bestimmen, berechnet man .