Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme: Der Gaußsche Algorithmus

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Lösung eines Gleichungssystems mit dem Gaußschen Algorithmus am Beispiel 3.1.1. :

Wenn im genannten Beispiel für das Lösungstripel x1, x2, x3 die erste Gleichung 1 ergeben soll und für die zweite 4, so muß die Summe der beiden linken Seiten dieser Gleichungen 5 ( = Summe der rechten Seiten) ergeben. Falls man also zwei Gleichungen addiert, erfüllen die Lösungswerte x1, x2 und x3 auch die durch Addieren von Gleichung 1 und Gleichung 2 entstandene "Summengleichung". Genauso schnell überlegt man sich, daß auch das Vielfache einer Gleichung immernoch durch die ursprünglichen Lösungswerte xi erfüllt wird. Darauf beruht das bekannte "Additionsverfahren" für Gleichungssysteme.
Besonders übersichtlich gestaltet sich dasselbe, wenn die Gleichungen des vorgelegten Gleichungssystems so manipuliert werden, daß bei der letzen Gleichung eine Unbekannte, bei der zweitletzten zwei Unbekannte, ... stehen bleiben. Denn dann liefert (im Beispiel) die letzte Gleichung x3 und damit kann aus der vorletzten, die x3 und x2 enthält, sofort x2 berechnet werden. Wir können dies an unserem Beispiel zeigen und schreiben die einzelnen Schritte mit obiger Kurzfassung darunter auf:

Ausgangssituation:
1x1+1x2+2x3=1 |-2 | -4
2x1+3x2+3x3=4 | 1
4x1+6x2+5x3=2,| 1

in Kurzform also

1. Schritt:

Gleichung 1 wird mit -2 multipliziert und zur zweiten Gleichung addiert (siehe Angaben in der Ausgangssituation). Das ergibt eine neue zweite Gleichung. Ebenso addiert man das -4-fache der ersten zur dritten Gleichung und erhält so eine neue dritte Gleichung. In unserer Kurzschreibweise bekommt man somit:

Wir haben somit erreicht, daß Gleichung (2) und (3) die Unbekannte x1 nicht mehr enthält. Wenn wir dann weiter die neue zweite Gleichung mit -2 multipliziert zur dritten Gleichung addieren, erhalten wir:

2. Schritt:

Wir wissen also jetzt: x3 hat den Wert x3 = 6.

Durch Rückwärtseinsetzen von unten nach oben erhalten wir:

d.h. x1 = -19, x2 = 8 und x3 = 6 sind die gesuchten Werte des vorgegebenen Gleichungssystems.

Siehe auch Gaußsches Eliminationsverfahren bei Wikipedia.