Lineare Rekurrenzen, Potenzreihen und ihre erzeugenden Funktionen/ Eine Differenzengleichung für cosh

Die in den bisherigen Beispielen angewandten Prinzipien führten zu Methoden, die zum Ziel hatten, eine bestimmte Art der geschlossenen Form zu erhalten, nämlich eine Summe von Potenzen. Umgekehrt ist es kein Problem, von einer solchen Form auszugehen, und zu einer formalen Potenzreihe zu gelangen, von der sich dann eine Rekurrenz ablesen läßt.

Beispielsweise lautet die Definition für den Kosinus Hyperbolicus (cosh)

$\,\cosh(z)={\tfrac {1}{2}}e^{z}+{\tfrac {1}{2}}e^{-z},\qquad z\in \mathbb {C}$.

Daraus folgt für die formal erzeugende Funktion, wir nennen sie C(x),

$C(x)={\frac {1}{2(1-ex)}}+{\frac {1}{2(1-x/e)}}={\frac {2-(e+{\frac {1}{e}})x}{2(1-(e+{\tfrac {1}{e}})x+x^{2})}}$.

Der Nenner wiederum zeigt den Weg zur Differenzengleichung

$\cosh(n+2)=(e+{\tfrac {1}{e}})\cosh(n+1)-\cosh n.$