Lineare Rekurrenzen, Potenzreihen und ihre erzeugenden Funktionen/ Eine vorgegebene Folge

Es sei das Problem vorgegeben, die geschlossene Form der Folge zu finden, die die erzeugende Funktion

$A(x)={\frac {1+2x-x^{2}}{(1-x)^{4}(1+x)^{2}}}=1+4x+8x^{2}+16x^{2}+25x^{3}+40x^{4}+56x^{5}+\cdots$

besitzt (diese Zahlenfolge entsteht bei einer gewissen Zerteilung von Polygonen). Wir können diesmal nicht von der Rekurrenz ausgehen, sehen aber sofort anhand der Erzeugenden, dass sie von 6. Ordnung ist, außerdem kommt in der geschlossenen Form n bis zur dritten Potenz, sowie Potenzen von (-1) multipliziert mit n bis zur ersten Potenz, vor. Der Ansatz setzt sich daher aus den vier Termen 1, n, n², n³ und den zwei Termen (-1)ⁿ und n(-1)ⁿ als Einzelfunktionen der Partialbruchzerlegung zusammen:

${\frac {1+2x-x^{2}}{(1-x)^{4}(1+x)^{2}}}={\frac {Cx(x^{2}+4x+1)}{(1-x)^{4}}}+{\frac {Dx(x+1)}{(1-x)^{3}}}+{\frac {Ex}{(1-x)^{2}}}+{\frac {F}{1-x}}+{\frac {-Gx}{(1+x)^{2}}}+{\frac {H}{1+x}}$

(Benutzen Sie Gleichung (P2) mit c=-1, um die letzten beiden Terme zu erhalten!)

Der Ansatz führt zu dem Gleichungssystem

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\-1\\2\\1\end{pmatrix}}\quad =\quad {\begin{pmatrix}C&D&E&F&G&H\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-1&1&-1&-1&1\\6&-2&0&1&4&-3\\10&0&-2&2&-6&2\\6&2&0&-2&4&2\\1&1&1&-1&-1&-3\\0&0&0&1&0&1\end{pmatrix}}$

mit der Lösung

$\{C={\tfrac {1}{12}},D={\tfrac {3}{4}},E={\tfrac {43}{24}},F={\tfrac {9}{8}},G=-{\tfrac {1}{8}},H=-{\tfrac {1}{8}}\}$

und damit der Formel

$a_{n}={\tfrac {1}{24}}\left(2n^{3}+18n^{2}+43n+27-3(n+1)(-1)^{n}\right)$.