Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Rechenregeln für Matrizen

Rechenregeln für Matrizen

Größenrelationen

Gegeben sind die Matrizen ${\underline {A}}_{m\times n}$ und ${\underline {B}}_{m\times n}$ mit den Elementen $a_{ij}$ und $b_{ij}$, $(i=1,\ ...\ ,m;\ j=1,\ ...,\ n)$. Es ist

${\underline {A}}={\underline {B}}$, falls $a_{ij}=b_{ij}$ für alle $i,j$

und

${\underline {A}}\leq {\underline {B}}$, falls $a_{ij}\leq b_{ij}$ für alle $i,j.$

Entsprechendes gilt auch für $<,\ >,\ \geq$. Vergleiche sind nur für Matrizen gleicher Ordnung definiert.

Addition und Subtraktion

Wir hatten schon im Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen aus dem Kapitel Matrizenrechnung Matrizen addiert:

${\underline {M}}={\underline {M}}_{1}+{\underline {M}}_{2}=$

${\begin{bmatrix}200&100&2000&0\\100&500&100&10\\100&1000&0&0\\\end{bmatrix}}\,$ $\,+\,$ ${\begin{bmatrix}200&200&1000&0\\200&200&200&20\\300&2000&10&0\\\end{bmatrix}}\,$

$\,=\,$

$\,{\begin{bmatrix}400&300&3000&0\\300&700&300&30\\400&3000&10&0\\\end{bmatrix}}\,.$

Es gilt also:

Gegeben sind ${\underline {A}}_{m\times n}$, ${\underline {B}}_{m\times n}$ und ${\underline {C}}_{m\times n}$. Es soll ${\underline {C}}={\underline {A}}+{\underline {B}}$ sein bzw.

$(c_{ij})_{m\times n}=(a_{ij}+b_{ij})_{m\times n}$.

Es werden also zwei Matrizen addiert, indem ihre entsprechenden Elemente addiert werden. Es können nur Matrizen gleicher Ordnung addiert werden.

Beispiel: ${\begin{bmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&3\\8&-6\\3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&5\\8&-8\\1&5\end{bmatrix}}.$

Entsprechend berechnet sich die Subtraktion.

Beispiel: ${\begin{bmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}2&3\\8&-6\\3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-1&-1\\-8&4\\-5&3\end{bmatrix}}.$

Multiplikation

Multiplikation mit einem Skalar

Beispiel 3: Verbrauchswerte von drei Firmen aus Matrizenrechnung:

Was ergäbe sich, wenn sich im nächsten Jahr der Verbrauch aller Firmen verdoppelt hätte?

${\begin{bmatrix}800&600&6000&0\\400&1400&600&60\\800&6000&20&0\\\end{bmatrix}}=2\cdot {\underline {M}}.$

Wird eine Matrix mit einem Skalar $b$ multipliziert, werden alle Elemente $a_{ij}$ mit $b$ multipliziert:

$b\cdot {\underline {A}}_{m\times n}=(b\cdot a_{ij})_{m\times n}.$

Beispiel:

$3\cdot {\begin{bmatrix}1&2\\0&-2\\-2&4\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&6\\0&-6\\-6&12\end{bmatrix}}.$

Multiplikation zweier Matrizen

Beispiel 1: Planung für Kuchenbacken

Tante Erna leitet eine kleine Bäckerei, die an 2 Cafés liefert. Sie backt vor allem Biskuitböden, Rührkuchen und Mürbteigböden. Um sich (und uns) die Arbeit zu vereinfachen, hat Erna die Zutaten für die Kuchen in „Eischwer“ umgerechnet (eine altbekannte Faustregel aus der Zeit meiner Oma). Es werden also die Zutaten Mehl, Zucker und Butter in Gewichtseinheiten eines Eies (ca. 50 g) umgerechnet. Es folgt die Tabelle der Zutaten.

	Produkt	Biskuitteig	Rührteig	Mürbteig
Produktionsfaktoren	kurz:	B	R	M
Ei	E	5	4	1
Mehl	Me	3	4	6
Zucker	Z	4	4	2
Butter	Bu	0	4	4

Um damit rechnen zu können, fassen wir nun die Rezeptdaten in einer so genannten Produktionsmatrix ${\underline {P}}$ zusammen:

${\underline {P}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}5&4&1\\3&4&6\\4&4&2\\0&4&4\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}$

.

Die grünen Buchstaben dienen nur zur Veranschaulichung, damit wir nicht vergessen, dass wir es hier mit realen Dingen zu tun haben und damit wir uns anfangs etwas leichter tun.

Ein Element $p_{ij}$ gibt also die Menge des Inputs $i$ an, die für eine Einheit des Gutes $j$ benötigt wird. Es werden beispielsweise für einen Biskuitteig 4 Eischwer Zucker benötigt, allgemein ausgedrückt - für das Produkt $j=1$ werden 4 Einheiten der Zutat $i=3$ benötigt.

Tante Erna hat für kommenden Samstag folgende Bestellungen:

	Café1	Café2
	C1	C2
Biskuitböden	3	5
Rührkuchen	5	8
Mürbteigböden	2	1

In der Matrix ${\underline {Q}}$ (wie Quantität) zusammengefasst:

${\underline {Q}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Blue}3&\color {Blue}5\\\color {Blue}5&\color {Blue}8\\\color {Blue}2&\color {Blue}1\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}$.

Wieviel Zutaten muss Tante Erna für die Bestellungen einkaufen? Intuitiv denken wir natürlich "Zutaten * bestellte Menge". Also schreiben wir

${\underline {R}}={\underline {P}}\cdot {\underline {Q}}$ bzw. ausführlich und wieder mit den grünen Symbolen zur Orientierung

${\underline {R}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}r_{11}&r_{12}\\r_{21}&r_{22}\\r_{31}&r_{32}\\r_{41}&r_{42}\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Red}5&\color {Red}4&\color {Red}1\\\color {Red}3&\color {Red}4&\color {Red}6\\\color {Red}4&\color {Red}4&\color {Red}2\\\color {Red}0&\color {Red}4&\color {Red}4\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Blue}3&\color {Blue}5\\\color {Blue}5&\color {Blue}8\\\color {Blue}2&\color {Blue}1\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}$

Es soll noch kurz darauf hingewiesen werden, dass die benötigte Menge ${\underline {R}}$ nichts mit dem Rührkuchen R zu tun hat.

Nun arbeiten wir die Matrix der Rohstoffe elementweise ab: $r_{11}$ ist die Zahl der Eier für Café1:

• Für einen Biskuitboden braucht Erna 5 Eier. Es wurden 3 Böden bestellt, also $5\cdot 3=15$ Eier.
• Für einen Rührkuchen braucht Erna 4 Eier, bei 5 Kuchen also $4\cdot 5$ Eier.
• Für einen Mürbteig braucht Tante Erna 1 Ei, bei 2 Böden also $1\cdot 2$ Eier.

Wir rechnen das jetzt mit den Matrizen ${\underline {P}}$ und ${\underline {Q}}$ aus, wobei wir die nicht benötigten Matrixelemente ausblenden.

${\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Red}5&\color {Red}4&\color {Red}1\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Blue}3&\cdot \\\color {Blue}5&\cdot \\\color {Blue}2&\cdot \end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}$.

Man könnte etwas lieblos sagen: Die erste Zeile von ${\underline {P}}$ wird mit der ersten Spalte von ${\underline {Q}}$ multipliziert. Etwas präziser lautet das: Die erste Zeile von ${\underline {P}}$ wird elementweise mit der ersten Spalte von ${\underline {Q}}$ multipliziert. Die Produkte werden dann aufaddiert.

$r_{\color {Red}1\color {Blue}1}=\color {Red}5\cdot \color {Blue}3+\color {Red}4\cdot \color {Blue}5+\color {Red}1\cdot \color {Blue}2=37$.

Entsprechend erhalten wir die Zahl der Eier für Café2, also "die erste Zeile von ${\underline {P}}$ wird mit der zweiten Spalte von ${\underline {Q}}$ multipliziert"

${\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Red}5&\color {Red}4&\color {Red}1\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\cdot &\color {Blue}5\\\cdot &\color {Blue}8\\\cdot &\color {Blue}1\color {Blue}1\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}$.

$r_{\color {Red}1\color {Blue}2}=\color {Red}5\cdot \color {Blue}5+\color {Red}4\cdot \color {Blue}8+\color {Red}1\cdot \color {Blue}11=68$.

Wir kommen nun zur benötigten Menge Mehl:

Mehl für Café1:

${\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\\color {Red}3&\color {Red}4&\color {Red}6\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Blue}3&\cdot \\\color {Blue}5&\cdot \\\color {Blue}2&\cdot \end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}$.

$r_{\color {Red}2\color {Blue}1}=\color {Red}3\cdot \color {Blue}3+\color {Red}4\cdot \color {Blue}5+\color {Red}6\cdot \color {Blue}2=41$.

Mehl für Café2:

${\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {B} &\color {Green}\mathrm {R} &\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\\color {Red}3&\color {Red}4&\color {Red}6\\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\color {Blue}\cdot &\color {Blue}5\\\color {Blue}\cdot &\color {Blue}8\\\color {Blue}\cdot &\color {Blue}1\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {B} \\\color {Green}\mathrm {R} \\\color {Green}\mathrm {M} \end{matrix}}\end{matrix}}$.

$r_{\color {Red}2\color {Blue}2}=\color {Red}3\cdot \color {Blue}5+\color {Red}4\cdot \color {Blue}8+\color {Red}6\cdot \color {Blue}1=53$.

Wir fahren nach dem obigen Schema fort. Bitte verfolgen Sie anhand von ${\underline {P}}$ und ${\underline {Q}}$ die Berechnungen weiter.

Zucker für Café1:

$r_{\color {Red}3\color {Blue}1}=\color {Red}4\cdot \color {Blue}3+\color {Red}4\cdot \color {Blue}5+\color {Red}2\cdot \color {Blue}2=36$.

Zucker für Café2:

$r_{\color {Red}3\color {Blue}2}=\color {Red}4\cdot \color {Blue}5+\color {Red}4\cdot \color {Blue}8+\color {Red}2\cdot \color {Blue}1=54$.

Butter für Café1:

$r_{\color {Red}4\color {Blue}1}=\color {Red}0\cdot \color {Blue}3+\color {Red}4\cdot \color {Blue}5+\color {Red}4\cdot \color {Blue}2=28$.

Butter für Café2:

$r_{\color {Red}4\color {Blue}2}=\color {Red}0\cdot \color {Blue}5+\color {Red}4\cdot \color {Blue}8+\color {Red}4\cdot \color {Blue}1=36$.

Für die Matrix der benötigten Rohstoffe erhalten wir also

${\underline {R}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {E} \\\color {Green}\mathrm {Me} \\\color {Green}\mathrm {Z} \\\color {Green}\mathrm {Bu} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {C_{1}} &\color {Green}\mathrm {C_{2}} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}37&68\\41&53\\36&54\\28&36\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}$.

Beispiel 2: Beschaffung von Produktionsmitteln

Dieses Beispiel ist ein wenig allgemeiner als das obige.

Zwei Unternehmen U1 und U2 mit gleichem Produktangebot stellen drei Produkte x, y, z her. Dazu benötigen sie die Produktionsfaktoren a, b, c. Die Inputmengen, die für die Herstellung einer Einheit von x, y oder z benötigt werden, sind in der Produktionsmatrix

${\underline {P}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} &\color {Green}\mathrm {y} &\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}1&2&0\\2&0&1\\2&1&1\end{bmatrix}}\end{matrix}}{\begin{matrix}&&\\\color {Green}\mathrm {a} &\color {Green}\mathrm {m} \\\color {Green}\mathrm {b} &\color {Green}\mathrm {kwh} \\\color {Green}\mathrm {c} &\color {Green}\mathrm {Stueck} \end{matrix}}$

und das aktuelle Produktionsprogramm der Unternehmen in der Matrix

${\underline {Q}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {U1} &\color {Green}\mathrm {U2} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}10&20\\20&10\\30&10\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} \\\color {Green}\mathrm {y} \\\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\end{matrix}}$

angegeben. Beispielsweise werden für die Produktion einer Einheit von x 2 Stück des Gutes c benötigt. Wir suchen die Menge von Produktionsfaktoren ${\underline {R}}$, die für das Produktionsprogramm beschafft werden müssen.

Es ergibt sich ${\underline {R}}={\underline {P}}\cdot {\underline {Q}}$

als

${\underline {R}}={\begin{bmatrix}r_{11}&r_{12}\\r_{21}&r_{22}\\r_{31}&r_{32}\\\end{bmatrix}}={\begin{matrix}{\begin{matrix}&\\\color {Green}\mathrm {a} \\\color {Green}\mathrm {b} \\\color {Green}\mathrm {c} \end{matrix}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {x} &\color {Green}\mathrm {y} &\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}1&2&0\\2&0&1\\2&1&1\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {U1} &\color {Green}\mathrm {U2} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}10&20\\20&10\\30&10\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} \\\color {Green}\mathrm {y} \\\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\end{matrix}}$

Wir multiplizieren:

• $r_{11}=1\cdot 10+2\cdot 20+0\cdot 30=50$

• $r_{12}=1\cdot 20+2\cdot 10+0\cdot 10=40$
• $r_{21}=2\cdot 10+0\cdot 20+1\cdot 30=50$

• $r_{22}=2\cdot 20+0\cdot 10+1\cdot 10=50$

• $r_{31}=2\cdot 10+1\cdot 20+1\cdot 30=70$

• $r_{32}=2\cdot 20+1\cdot 10+1\cdot 10=60$

und erhalten

${\underline {R}}={\begin{bmatrix}50&40\\50&50\\70&60\\\end{bmatrix}}$.

Beispiele ohne Sachbezug

Nun wollen wir zwei Matrizen multiplizieren, ganz abstrakt, ohne Plätzchen und Zuckerguss:

${\underline {C}}={\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=$

${\begin{pmatrix}-1&5&0\\1&2&1\end{pmatrix}}{\dot {\begin{pmatrix}2&1&0&1\\-3&0&2&0\\1&-2&1&3\end{pmatrix}}}$.

Auch hier gehen wir - analog zu oben - so vor:

Für das Element $c_{11}$ multiplizieren wir die erste Zeile von ${\underline {A}}$ mit der ersten Spalte von ${\underline {B}}$ , was natürlich schlampig ausgedrückt ist und bedeutet, dass wir die erste Zeile von ${\underline {A}}$ elementweise mit der ersten Spalte von ${\underline {B}}$ multiplizieren und die Produkte dann aufsummieren (blah blah ...).

$c_{11}=-1\cdot 2+5\cdot (-3)+0\cdot 1.$

Für das Element $c_{12}$ multiplizieren wir die erste Zeile von ${\underline {A}}$ mit der zweiten Spalte von ${\underline {B}}$.

$c_{12}-1\cdot 1+5\cdot 0+0\cdot (-2)$

usw ...

Für das Element $c_{24}$ multiplizieren wir die zweite Zeile von ${\underline {A}}$ mit der vierten Spalte von ${\underline {B}}$.

$c_{24}=1\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot 3$.

Geübte multiplizieren die Produktsummen direkt in die Matrix ${\underline {C}}$ hinein. Das sieht dann so aus:

${\begin{pmatrix}-1\cdot 2+5\cdot (-3)+0\cdot 1&-1\cdot 1+5\cdot 0+0\cdot (-2)&-1\cdot 0+5\cdot 2+0\cdot 1&-1\cdot 1+5\cdot 0+0\cdot 3\\1\cdot 2+2\cdot (-3)+1\cdot 1&1\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot (-2)&1\cdot 0+2\cdot 2+1\cdot 1&1\cdot 1+2\cdot 0+1\cdot 3\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-2-15+0&-1+0+0&0+10+0&-1+0+0\\2-6+1&1+0-2&0+4+1&1+0+3\end{pmatrix}}=$

${\begin{pmatrix}-17&-1&10&-1\\-4&-1&5&4\end{pmatrix}}.$

Man kann sich übrigens bei Matrizenmultiplikationen beliebig oft verrechnen. Auch mit viel Erfahrung.

Mit der Berechnung von ${\underline {C}}={\underline {A}}\cdot {\underline {B}}=$ können wir uns nun auch überlegen, welche Dimension die Ergebnismatrix ${\underline {C}}$ hat. Wir hatten gesehen, dass das "südöstliche" Element $c_{24}$ heißt - also hat ${\underline {C}}$ zwei Zeilen und vier Spalten, d.h. ${\underline {C}}$ hat die Ordnung $2\times 4$.

	A					B
a	a	a		b	b	b	b
a	a	a		b	b	b	b
				b	b	b	b
2	×	3		3	×	4		Spaltenzahl von A = Zeilenzahl von B!!
	$\searrow$				$\swarrow$
		2	×	4				neue Matrix

Folgerung aus den Beispielen

Jetzt können wir die Matrizenmultiplikation als Formel darstellen:

Gegeben sind die Matrizen $A_{m\times r}$, $B_{r\times n}$. Das Element $c_{ij}$ des Produktes ${\underline {C}}={\underline {A}}\cdot {\underline {B}}$ ergibt sich, indem man die $i$te Zeile von $A$ mit der $j$ten Spalte von $B$ elementweise multipliziert und die Produkte aufaddiert:

$c_{ij}=\sum _{k=1}^{r}a_{ik}\cdot b_{kj}$.

Es muss also die Spaltenzahl von ${\underline {A}}$ gleich der Zeilenzahl von ${\underline {B}}$ sein.

2. Beispiel von oben:

${\underline {P}}\cdot {\underline {Q}}$ konnte bestimmt werden. Was aber ergibt ${\underline {Q}}\cdot {\underline {P}}$? Wir versuchen es:

${\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {U1} &\color {Green}\mathrm {U2} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot \end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} \\\color {Green}\mathrm {y} \\\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\end{matrix}}$

${\begin{matrix}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} &\color {Green}\mathrm {y} &\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot \end{bmatrix}}\end{matrix}}{\begin{matrix}&&\\\color {Green}\mathrm {a} &\color {Green}\mathrm {m} \\\color {Green}\mathrm {b} &\color {Green}\mathrm {kwh} \\\color {Green}\mathrm {c} &\color {Green}\mathrm {Stueck} \end{matrix}}$

$3\times 2\quad$

$\quad 3\times 3$

Wir haben zwei Spalten bei ${\underline {P}}^{T}$, aber drei Zeilen von ${\underline {Q}}$. Hier ist eine Multiplikation nicht definiert.

Vielleicht geht aber ${\underline {P}}^{T}\cdot {\underline {Q}}$? Von der Ordnung her würden die Matrizen ja zusammenpassen. Sehen wir uns das an:

${\underline {P}}^{T}\cdot {\underline {Q}}=$

${\begin{matrix}{\begin{array}{r}&\\&\\\color {Green}\mathrm {x} \\\color {Green}\mathrm {y} \\\color {Green}\mathrm {z} \end{array}}{\begin{matrix}{\begin{matrix}&\color {Green}\mathrm {a} &\color {Green}\mathrm {b} &\color {Green}\mathrm {c} \\&\color {Green}\mathrm {m} &\color {Green}\mathrm {kwh} &\color {Green}\mathrm {\text{Stück}} \end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}&1&&2&&0&\\&2&&0&&1&\\&2&&1&&1&\end{bmatrix}}\end{matrix}}\end{matrix}}\cdot {\begin{matrix}{\begin{matrix}&&&\\\color {Green}\mathrm {U1} &\color {Green}\mathrm {U2} &\end{matrix}}\\{\begin{bmatrix}10&20\\20&10\\30&10\end{bmatrix}}{\begin{matrix}\color {Green}\mathrm {x} \\\color {Green}\mathrm {y} \\\color {Green}\mathrm {z} \end{matrix}}\end{matrix}}$

Wir hätten für das Produkt eines Elements die Konstellation mit der entsprechenden Einheit für den Input als

${\begin{matrix}\mathrm {a} \cdot \mathrm {x} &+&\mathrm {b} \cdot \mathrm {y} &+&\mathrm {c} \cdot \mathrm {z} \\\mathrm {m^{3}} &&\mathrm {kWh} &&\mathrm {Stueck} \end{matrix}}$,

also kompletten Unsinn. Wir sehen, dass die Anordnung der Matrizen von Bedeutung ist.

Beachten:

Im allgemeinen ist ${\underline {A}}\cdot {\underline {B}}\neq {\underline {B}}\cdot {\underline {A}}$.

Man schreibt ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}^{2}$, $\ {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}^{3}$ usw., falls die Multiplikationen erlaubt sind.

Multiplikation von Vektoren

Es gilt speziell bei einem Zeilenvektor ${\underline {a}}^{T}$ und einem Spaltenvektor ${\underline {b}}$ der Ordnung n:

${\underline {a}}^{T}\cdot {\underline {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}&a_{2}&\ldots &a_{n}\end{pmatrix}}.{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}.$

Man nennt diese Art des Produkts Skalarprodukt, weil das Produkt der Vektoren ein Skalar ergibt.

Beispiele:

Es ist ${\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1+4+3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6\end{pmatrix}}=6$,

aber

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2&1\\-2&4&2\\-3&6&3\end{pmatrix}}$.

Umformung von Matrizengleichungen

Additive Erweiterung

Man kann eine Matrizengleichung additiv von links oder rechts erweitern, wobei die Ordung der Matrizen übereinstimmen muss.

Beispiel:

Gegeben sind ${\underline {A}}_{m\times n},{\underline {B}}_{m\times n}$ und ${\underline {C}}_{m\times n}$. Es ist

${\underline {A}}={\underline {B}}\quad \Leftrightarrow$     $\quad {\underline {A}}+{\underline {C}}={\underline {B}}+{\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$    ${\underline {C}}+{\underline {A}}={\underline {B}}+{\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$   ${\underline {A}}-{\underline {C}}=-{\underline {C}}+{\underline {B}}.$

Multiplikative Erweiterung

Man kann eine Matrizengleichung multiplikativ erweitern, wobei die Ordung der Matrizen den Multiplikationsgesetzen entsprechend sein muss.

Von links:

Beispiel

Gegeben sind ${\underline {A}}_{m\times n},{\underline {B}}_{m\times n}$ und ${\underline {C}}_{r\times m}$. Es ist

${\underline {A}}={\underline {B}}\quad \Rightarrow$     ${\underline {C}}\cdot {\underline {A}}={\underline {C}}\cdot {\underline {B}}.$

Ausklammern:

${\underline {C}}\cdot {\underline {A}}+{\underline {C}}\cdot {\underline {B}}={\underline {C}}\cdot ({\underline {B}}+{\underline {A}}).$

Es ist auch

${\underline {A}}+{\underline {C}}\cdot {\underline {A}}=({\underline {I}}+{\underline {C}}){\underline {A}}.$

Von rechts:

Beispiel

Gegeben sind ${\underline {A}}_{m\times n},{\underline {B}}_{m\times n}$ und ${\underline {D}}_{n\times s}$. Es ist

${\underline {A}}={\underline {B}}\quad \Rightarrow$     ${\underline {A}}\cdot {\underline {D}}={\underline {B}}\cdot {\underline {D}}.$

Ausklammern:

${\underline {B}}\cdot {\underline {D}}-{\underline {A}}\cdot {\underline {D}}=({\underline {B}}-{\underline {A}}){\underline {D}}.$

Umformungen wie ${\underline {A}}\cdot {\underline {C}}={\underline {C}}\cdot {\underline {A}}$ sind im allgemeinen nicht zulässig und auch oft gar nicht definiert.

Spezielle Rechenregeln

Gegeben sind ${\underline {A}}_{n\times n}$ und invertierbar, ${\underline {B}}_{n\times n}$ und invertierbar, ${\underline {C}}_{n\times m}$ und die Nullmatrix ${\underline {O}}_{m\times r}$. Es sind

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}^{-1}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}={\underline {I}};$

${\underline {A}}\cdot {\underline {I}}={\underline {A}};$

${\underline {C}}\cdot {\underline {O}}={\underline {O}}$

$({\underline {B}}\cdot {\underline {A}})^{T}={\underline {A}}^{T}\cdot {\underline {B}}^{T};$

$({\underline {B}}\cdot {\underline {A}})^{-1}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {B}}^{-1}.$

Skalare werden wie Zahlen behandelt. Insbesondere können die Seiten der Gleichung wahlweise von links und von rechts mit einem Skalar multipliziert werden.

Beispiel:

$[5]\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}\cdot [5]=5\cdot {\underline {A}}$

Beispiele für Umformungen

Gegeben ist die Gleichung ${\underline {A}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}};$ ${\underline {A}}$ ist invertierbar. Gesucht ist ${\underline {x}}$:

${\underline {A}}\cdot {\underline {x}}={\underline {b}}\quad \Leftrightarrow$     ${\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {A}}\cdot {\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}\quad \Leftrightarrow$   ${\underline {I}}\cdot {\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}\quad \Leftrightarrow$   ${\underline {x}}={\underline {A}}^{-1}\cdot {\underline {b}}$

Gegeben ist ${\underline {A}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {B}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {C}},$  wobei $({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})$ invertierbar ist. Gesucht ist ${\underline {X}}$:

${\underline {A}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {B}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$    ${\underline {A}}\cdot {\underline {X}}-{\underline {B}}\cdot {\underline {X}}+{\underline {X}}={\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$    $({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})\cdot {\underline {X}}={\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$     $({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot ({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})\cdot {\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$    ${\underline {I}}\cdot {\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}\quad \Leftrightarrow$    ${\underline {X}}=({\underline {A}}-{\underline {B}}+{\underline {I}})^{-1}\cdot {\underline {C}}$

Gegeben ist ${\underline {A}}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}$  mit ${\underline {X}}_{n\times m},\,{\underline {I}}_{n\times n}$. Gesucht ist ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}$:

Es ist ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}\cdot {\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}.$

Mit $({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}\cdot {\underline {X}}={\underline {I}}$ erhalten wir

${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {X}}\cdot {\underline {I}}\cdot ({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}={\underline {X}}({\underline {X}}^{T}{\underline {X}})^{-1}{\underline {X}}^{T}={\underline {A}}$

Es ist also ${\underline {A}}\cdot {\underline {A}}={\underline {A}}$. Man nennt die Matrix ${\underline {A}}$ idempotent.

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