MathGymOS/ Analysis/ Differentialrechnung/ Ableitung ganzrationaler Funktionen

Im letzten Abschnitt wurde erklärt, wie man eine Funktion mittels des Differentialquotienten ableiten kann. Die Methode war ziemlich umständlich, deswegen suchen wir nun nach einfachen Regeln, mit denen man auch ohne großes Rechnen die Ableitung einer Funktion bilden kann. Dabei schränken wir uns fürs Erste auf die  Ganzrationale Funktionen ein.

Eine ganzrationale Funktion hat die Form

$f(x)=a_{1}\cdot x^{n}+a_{2}\cdot x^{n-1}+\ldots +a_{n}\qquad a\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {N}$

Beispiel: Ganzrationale Funktionen

- $f(x)=2x+4\,\!$

- $f(x)=x^{2}\,\!$

- $f(x)={\frac {1}{3}}x^{3}+2x^{2}-{\frac {1}{32}}x+5$

 

Allgemeine Ableitungsregeln

Um allgemeine Ableitungsregeln für diese Art von Funktionen zu finden, setzen wir einmal die allgemeine Funktion $f(x)=x^{n}+r\quad n\in \mathbb {N} ,r\in \mathbb {R}$ in den bereits bekannten Differentialquotienten ein und formen um:

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {(x+\epsilon )^{n}+r-(x^{n}+r)}{\epsilon }}$

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {(x+\epsilon )^{n}+r-(x^{n}+r)}{\epsilon }}$

Um $(x+\epsilon )^{n}$ umzuformen bedienen wir uns des  Binomischen Satzes, danach wird ein $\epsilon$ ausgeklammert und gekürzt:

$f'(x)=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}{\frac {x^{n}+n\cdot x^{n-1}\epsilon +\ldots +n\cdot x\epsilon ^{n-1}+\epsilon ^{n}+r-(x^{n}+r)}{\epsilon }}=\lim _{\epsilon \rightarrow 0}(n\cdot x^{n-1}+\ldots +n\cdot x\epsilon ^{n-2}+\epsilon ^{n-1})$

(Wenn man diesen Schritt nicht nachvollziehen kann, ist das nicht weiter dramatisch.)

Es ist wichtig jetzt zu sehen, dass auf Grund der Umformung nach dem Binomischen Satz in allen Summanden bis auf einen, $n\cdot x^{n-1}$, mit $\epsilon$ multipliziert wird. Das heißt, alle Summanden bis auf $n\cdot x^{n-1}$ fallen weg, wenn wir $\epsilon =0$ einsetzen. Außerdem fällt ein konstanter Summand weg. Demnach ist

$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$

Damit haben wir auch schon die wichtigste Regel zum Ableiten ganzrationaler Funktionen gefunden:

Ableiten

Um $f(x)=x^{n}+r$ abzuleiten, zieht man den Exponenten nach vorn und erniedrigt ihn um 1.

$f(x)=x^{n}+r\quad \Rightarrow \quad f'(x)=n\cdot x^{n-1}$

Konstanten lässt man wegfallen.

 

Die Regel lässt sich nicht nur bei natürlichen Exponenten anwenden, sondern funktioniert genau so gut mit rationalen Exponenten, das zu beweisen ist aber ein bisschen schwieriger (die Funktionen sind dann auch nicht mehr ganzrational).

Mit dieser Regel allein kann man noch keine allgemeinen ganzrationalen Funktionen ableiten, aber der schwierigste Teil ist schon bewältigt. Wir müssen uns nur noch überlegen, wie wir mit den Koeffizienten vor den x vorgehen (Faktorenregel) und was wir machen, wenn unsere Funktion aus mehrerer Summanden besteht (Summenregel).

Beide Regeln sind ganz leicht und lassen sich ohne Rechnen finden, wenn man sich überlegt, dass die erste Ableitung die Steigung der Funktion repräsentiert.

Faktorenregel

Wenn wir uns die einfache Winkelhalbierende $f(x)=x$ hernehmen, sehen wir sofort, dass die Steigung konstant 1 ist (wer mag, kann das schon mit der obigen Regel nachrechnen). Schreiben wir jetzt einen Faktor vor das x, z.B. $f(x)=3x$, dann ist die Gerade um diesen Faktor steiler, die Steigung nimmt also um den Faktor zu. Genau das Gleiche passiert auch bei allen anderen Funktionen (nicht nur ganzrationalen!). Damit haben wir die Faktorenregel schon gefunden:

Faktorenregel

Konstante Faktoren bleiben beim Ableiten stehen

$f(x)=a\cdot g(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)=a\cdot g'(x)$

In unserem Fall also

$f(x)=a\cdot x^{n}\quad \Rightarrow \quad f'(x)=a\cdot n\cdot x^{n-1}$

 

Summenregel

Betrachten wir wieder die Winkelhalbierende $f(x)=x$. Beobachten wir, was passiert, wenn eine andere Funktion, z.B. $g(x)=2x$, dazuaddieren.

$f(x)+g(x)=x+2x=3x$

Wie wir sehen, addieren sich die Steigungen der beiden Funktionen! Wieder lässt sich das auf alle Funktionen übertragen.

Summandenregel

Summanden werden einzeln abgeleitet und ihre Ableitungen addiert

$f(x)=g(x)+h(x)\quad \Rightarrow \quad f'(x)=g'(x)+h'(x)$

Bei uns also

$f(x)=a\cdot x^{k}+b\cdot x^{l}\quad \Rightarrow \quad f'(x)=a\cdot k\cdot x^{k-1}\ +\ b\cdot l\cdot x^{l-1}$

 

Beispiele

Mit diesen drei Regeln können wir jetzt beliebige ganzrationale Funktionen praktisch ohne Nachdenken ableiten. Nehmen wir zum Beispiel die Funktion

$f(x)={\frac {1}{3}}x^{3}+2x^{2}+5x+10$

Ihre Ableitung ist

$f'(x)={\frac {1}{3}}\cdot 3\cdot x^{2}+2\cdot 2\cdot x^{1}+5\cdot x^{0}=x^{2}+4x+5$

 

Übungsaufgaben

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