MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Radizieren in C

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Wir haben im vorhergehenden Kapitel die Kreisteilungsgleichung kennen gelernt. Die Lösungen der Kreisteilungsgleichung stellen dabei nichts anderes dar als die -te Wurzel einer komplexen Zahl. Wir haben gesehen, dass es auf Grund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen genau Lösungen für die -te Wurzel gibt. Diese Lösungen lassen sich wie folgt berechnen:

Für den allgemeinen Fall können wir diese Formel aber nicht heranziehen. Wir können jedoch eine Beziehung für den allgemeinen Fall aus diesem Spezialfall und einem Beispiel herleiten:

Die erste Lösung lautet

was eigentlich nur die Umkehrung des Satzes von Moivre ist. Es wurde die -te Wurzel (in diesem Fall ist ) des Betrages gezogen und das Argument wurde durch geteilt anstatt mit multipliziert. Die zweite Lösung dieser Gleichung findet man durch folgende Überlegung: Das Argument der zweiten Lösung unterscheidet sich um vom Argument der ersten Lösung. Die zweite Lösung im Quadrat ergibt oder ( ist eine ganze Zahl). Diese beiden Ausdrücke sind gleichwertig aus Überlegungen die wir schon im vorherigen Kapitel angestellt haben. In Gleichungen lautet dieser Ansatz

Um das zu finden müssen wir nur die Argumente betrachten. Zuerst wählen wir :

Das ist eine triviale Lösung weil uns dieses Ergebnis wieder das erste Ergebnis liefert, also 30°. Wenn wir aber setzen finden wir auch die zweite Lösung:

Somit erhalten wir

Dieses Verfahren können wir nun leicht verallgemeinern. So sieht die allgemeine Gleichung aus:

Den ersten Lösungswinkel finden wir wie im Beispiel:

Die anderen Lösungen finden wir wiederum durch den gleichen Ansatz wie im Beispiel:

Der letzte Ausdruck sieht genau so aus wie im Spezialfall. Wenn wir diesen Ausdruck in den allgemeinen Ansatz setzen finden wir folgende Formel zur Berechnung der n-ten Wurzel:


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