MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Die Kreisteilungsgleichung

In diesem Kapitel wollen wir noch einen Bezug zwischen den komplexen Zahlen und der Geometrie herstelle. Dazu betrachten wir die Gleichung $z^{n}=1$, die so genannte Kreisteilungsgleichung. Im Reellen hat diese Gleichung nur eine Lösung, im Komplexen hingegen $n$ Lösungen. Wieso das so ist wollen wir uns an einem Beispiel überlegen:

$z^{6}=1\,$

Zum Lösen dieser Gleichung ersetzen wir das $z$ durch $\operatorname {cis} (\varphi )$ und wenden den Satz von Moivre an. Dadurch erhalten wir

$\operatorname {cis} (\varphi )^{6}=1\quad \Rightarrow \quad \operatorname {cis} (6\cdot \varphi )=1$

Auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens steht eine komplexe Zahl mit Realteil 1 und Imaginärteil 0, also müssen wir folgende zwei Gleichungen Lösen:

$\cos(6\cdot \varphi )=1$

$\sin(6\cdot \varphi )=0$

Man sieht sofort ein, dass $\varphi =0^{\circ }$ eine Lösung für dieses Gleichungssystem ist. Allerdings ist die Lösung 0° gleichbedeutend mit 360°, wie man ganz einfach aus einem Graphen mit Polarkoordinaten ablesen kann oder sich selbst überlegen kann. Nach einer Drehung von 360° befindet man sich wieder am Anfang, also bei 0° und somit sind diese Lösungen gleichbedeutend. Diese Tatsachen wollen wir ausnutzen und die beiden Gleichungen umschreiben:

$\cos(6\cdot \varphi )=\cos(360^{\circ })$

$\sin(6\cdot \varphi )=\sin(360^{\circ })$

Oder nochmals anders geschrieben und nur mit einer Gleichung:

$6\cdot \varphi =360^{\circ }\quad \Rightarrow \quad \varphi ={\frac {360^{\circ }}{6}}=60^{\circ }$

Nun kennen wir schon zwei Lösungen: $z_{0}=0^{\circ }$ und $z_{1}=60^{\circ }$ Wir müssen aber bedenken, dass die trigonometrischen Funktionen periodisch sind und es somit noch mehr Lösungen gibt. Weitere Lösungen sind 120°, 180°, 240° und 300°. Hier die Begründung:

$\operatorname {cis} (6\cdot 120^{\circ })=\operatorname {cis} (720^{\circ })=\operatorname {cis} (2\cdot 360^{\circ })=\operatorname {cis} (360^{\circ })$

Auch die anderen Lösungen ergeben mit 6 multipliziert ein Vielfaches von 360°. Ein Vielfaches von 360° befindet sich am gleichen Ort wie 360° selbst, daher ist es für den Sinus oder den Cosinus das gleichen, wenn man 360°, 720° oder auch 1800° verwendet. Wieso gibt es dann nur die Lösungen 0°, 60°, 120°, 180°, 240° und 300°? Die nächste Lösung wäre 360°, aber wir wissen ja, dass die Lösung 360° äquivalent zu 0° ist. Auch die übernächste Lösung, also 420°, haben wir bereits. Nach 420° haben wir uns einmal im Kreis bewegt und um 60° darüber hinaus. Also ist 420° gleichbedeutend mit der Lösung 60°. Die Lösungen wiederholen sich periodisch und es gibt (in diesem Beispiel) genau 6 voneinander verschiedene Lösungen:

$z_{0}=\operatorname {cis} (0^{\circ })=1$

$z_{1}=\operatorname {cis} (60^{\circ })={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {i}$

$z_{2}=\operatorname {cis} (120^{\circ })=-{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {i}$

$z_{3}=\operatorname {cis} (180^{\circ })=-1$

$z_{4}=\operatorname {cis} (240^{\circ })=-{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {i}$

$z_{5}=\operatorname {cis} (300^{\circ })={\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\mathrm {i}$

Wenn wir diese Ergebnisse grafisch darstellen erhalten wir ein erstaunliches Bild:

Die Lösungen der Kreisteilungsgleichung ergeben in der Gauss'schen Zahlenebene die Ecken eines regulären n-Ecks. Es ist dem Einheitskreis einbeschrieben und hat eine Ecke bei (1|0). Die Lösungen der Kreisteilungsgleichung heissen auch Einheitswurzeln.

Wie haben also einen Bezug zur Geometrie geschaffen. Was für eine Bedeutung kommt dem aber zu?

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