MathGymOS/ Analysis/ Komplexe Zahlen/ Der Satz von Moivre

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Der Satz von Moivre sagt aus, dass für jede Komplexe Zahl folgende Beziehung gilt:

Dieser Satz lässt sich ganz einfach beweisen wenn man sich vor Augen führt, was eigentlich bedeutet. Das ist nämlich nichts anderes als und zwar insgesamt n-mal. Mit der im letzten Kapitel hergeleiteten Formel für die Multiplikation in Polarkoordinaten erkennt man sofort, dass die Beträge n-mal miteinander multipliziert werden und die Winkel n-mal summiert werden:

Dieses Ergebnis gilt vorerst nur für positive Zahlen. Man kann aber leicht beweisen, dass diese Beziehung auch für negative Zahlen gilt. Hierfür betrachten wir zuerst einen Spezialfall:

Mit Hilfe von diesem Spezialfall, den Potenzgesetzen und einem kleinen Trick können wir den allgemeinen Fall herleiten. Wir ersetzen das aus dem Satz von Moivre durch wobei :

Der Satz von Moivre hat also auch für negative Zahlen die gleiche Form. Er ist für alle Zahlen aus gültig.


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