MathGymOS/ Analysis/ Kurvendiskussion/ Sattelpunkte

In den vorhergehenden Kapiteln haben wir uns ausreichend über Extrempunkte und Wendestellen unterhalten, besonders über deren hinreichende Existenzbedingungen. Nun stellt sich aber die Frage, was man in den Fällen beobachten kann, in denen keine Extremstelle vorliegt, obwohl das notwendige Kriterium erfüllt ist. Diese Stellen sind sogenannte „Sattelpunkte“

Definition eines Sattelpunktes

Ein Sattelpunkt ist eine Stelle, an der der Graph einer Funktion eine horizontale Tangente besitzt, die aber kein lokales Extremum darstellt. Anders gesagt bedeutet dies, dass die Steigung an dieser Stelle 0 ist, sich ihr Vorzeichen aber nicht umkehrt. Das vielleicht einfachste Beispiel für einen Sattelpunkt ist die Stelle 0 des Graphen der Funktion $f(x)=x^{3}$

Bedingung für die Existenz eines Sattelpunktes

Ein Sattelpunkt (blau) gekennzeichnet mit der roten, horizontalen Tangente

Um einen Sattelpunkt zu erzeugen benötigt man also in der Ableitungsfunktion ein lokales Minimum/Maximum, dessen Funktionswert 0 ist. Das bedeutet, dass die notwendige Bedingung zur Existenz eines Sattelpunktes an der Stelle $x_{0}$ einer Funktion $f(x)$ gegeben ist durch:

• $\ f'(x_{0})=0$

• $\ f''(x_{0})=0$

Eine hinreichende Bedingung wäre nun $f'''(x_{0})\neq 0$. Damit ist auch gezeigt, dass ein Sattelpunkt immer zugleich auch Wendepunkt ist. Ist die hinreichende Bedingung nicht erfüllt, kann dennoch ein Sattelpunkt vorliegen. In dem Fall muss ein Vorzeichenwechsel in $f''(x)$ geprüft werden (andernfalls haben wir in der Ableitungsfunktion einen Sattelpunkt).

Beispiel: Sattelpunkt

Gegeben sei die einfache Funktion

$f(x)=x^{3}$

Mit Hilfe der Regeln zur Ableitung ganzrationaler Funktionen bilden wir die ersten Ableitungen:

$f'(x)=3x^{2}$ $f''(x)=6x$ $f'''(x)=6$

Ohne Rechnung sehen wir bereits, dass die einzige Nullstelle der ersten Ableitung bei $x=0$ liegt. Dort hat auch die zweite Ableitung eine Nullstelle (doppelte Nullstelle). Allerdings gilt für die dritte Ableitung stets: $f'''(x)\neq 0$.

Nach den oben aufgestellten Bedingungen für die Existenz einen Sattelpunktes, besitzt die Funktion $f(x)=x^{3}$ also einen Sattelpunkt bei $x=0$, wie auch leicht am Graphen zu sehen ist.