![](//upload.wikimedia.org/wikibooks/de/thumb/6/6f/Lot_auf_Ebene.png/220px-Lot_auf_Ebene.png)
Gegeben ist eine Ebene in Hesse'scher Normalenform
und ein Punkt
Die Gerade
ist die Lotgerade vom Punkt P auf die Ebene E (denn sie durchstößt E senkrecht und verläuft durch P).
Sei
(*) der
Ortsvektor des Lotfußpunktes L.
Dann ist der Abstand
Da der Lotfußpunkt auch ein Punkt der Ebene ist, muss auch gelten:
![{\displaystyle {\vec {l}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4b54c930c0046677ff0c7e8abf5ac0ed98cc4db)
Einsetzen von (*) in diese Gleichung liefert
![{\displaystyle \left[{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}+t_{l}\cdot {\vec {n}}_{e}\right]\cdot {\vec {n}}_{e}-d=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc8c4d1e4907ad9c8be5164eb433274f1a9a8716)
![{\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {n}}_{e}+t_{l}\cdot \underbrace {{\vec {n}}_{e}\cdot {\vec {n}}_{e}} _{=1}-d=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52a359d2d165b7e1cb9a8fd30cb1f01894dab07e)
![{\displaystyle \Leftrightarrow {\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d=-t_{l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abdd5aea74090271433e820be2730110c239e202)
![{\displaystyle \Leftrightarrow \left|t_{l}\right|=\left|{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\\\end{pmatrix}}\cdot {\vec {n}}_{e}-d\right|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ecb97b902dbf141f1cacf4510d890e8229ade90d)
Damit ergibt sich allgemein:
Die Ebene
![{\displaystyle E:\;{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-2\\-1\\5\\\end{pmatrix}}+s\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\\0\\\end{pmatrix}}+t\cdot {\begin{pmatrix}-2\\4\\5\\\end{pmatrix}}\;\left(s,t\in \mathbb {R} \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7285e6db99ecae7934213051a944b1ada26a2f6)
hat die Hesse'sche Normalenform
![{\displaystyle E:\;{\vec {x}}\cdot {\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}+{\frac {10}{3}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ead07fe59af705a26132e6512e416d14cd3423f0)
Der Punkt
hat folgenden Abstand zu E:
![{\displaystyle d(P,E)=\left|{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1/3\\2/3\\-2/3\\\end{pmatrix}}+{\frac {10}{3}}\right|=5\,\mathrm {LE} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/876dbd97d92121aa6521f8e61e7539456f24f5ff)